Ober-Untersumme mit Summenzeichen

16.12.2009, 00:34	Peter_spycher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ober-Untersumme mit Summenzeichen Hello also hab scho die Suchfunktion benutzt und bin nicht fündig geworden was meine Frage angeht. Wollte eigentlich nur wissen ob diese Schreibweise richtig ist. Bin mir eigentlich nur unsicher bei dieser Summenformel: $\begin{eqnarray} U_n=f(x_0)\cdot \Delta x + f(x_1)\cdot \Delta x +...... + f(x_{n-1})\cdot \Delta x = \sum\limits_{i=0}^{n-1}f(x_{i}) \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ demnach dann die obersumme: $\begin{eqnarray} O_n=f(x_1)\cdot \Delta x + f(x_2)\cdot \Delta x +...... + f(x_{n})\cdot \Delta x = \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i+1}) \cdot \Delta x<br /> \end{eqnarray}$ bin mir fast sicher dass das jeweils das ab dem summenzeichen nicht richtig ist. wäre nett wenn mir jemand helfen kann
16.12.2009, 00:46	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die zweite Schreibweise ist nicht richtig, denn $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_{i+1}) \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ ergibt ja $\begin{eqnarray} f(x_{1+1}) \Delta x + f(x_{2+1}) \Delta x + \ldots + f(x_{n+1}) \Delta x = f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + \ldots + f(x_{n+1}) \Delta x \end{eqnarray}$ Du musst das +1 bei dem Index weglassen. Nur noch als Hinweis: Die Formeln beziehen sich speziell auf Unter- und Obersumme einer monoton steigenden (!) Funktion bei einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls (die Zerlegungsstücke haben dieselbe Länge). Also das sind keine allgemeine Formeln. Du kannst übrigens das \limits bei dem sum-Makro weglassen. Und Du solltest keine Zeilenumbrüche in einer Formel machen, weil das bei einigen Browsern falsch angezeigt wird.
16.12.2009, 00:51	Peter_spycher	Auf diesen Beitrag antworten »
achsooo.. und gibt es dann eine allgemeine formel ??? also für funktionen die nicht nur monoton stiegend sind.
16.12.2009, 01:03	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeinen Formeln sind $\begin{eqnarray} U_n= \sum_{k=1}^{n} \inf f[I_k] \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O_n= \sum_{k=1}^{n} \sup f[I_k] \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ I_k ist das k-te Teilungsintervall $\begin{eqnarray} [x_{k-1}, x_{k}] \end{eqnarray}$ . Und $\begin{eqnarray} \inf f[I_k] \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sup f[I_k] \end{eqnarray}$ ist dann entsprechend das Infimum bzw. Supremum der Funktionswerte in diesem Intervall. Wenn man eine ganz freie Zerlegung zulässt (also nicht unbedingt ein gleichmäßiges Raster nimmt), lauten die Formeln $\begin{eqnarray} U_n= \sum_{k=1}^{n} \inf f[I_k] \cdot \Delta x_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O_n= \sum_{k=1}^{n} \sup f[I_k] \cdot \Delta x_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Delta x_k = x_k - x_{k - 1} \end{eqnarray}$ Deine Formeln sind dann die Spezialfälle der obigen Formeln für monoton steigende stetige Funktionen. Denn bei einer steigenden und stetigen Funktion ist das Infimum der Funktionswerte über einem Intervall immer der Funktionswert am linken Randpunkt des Intervalls. Und das Supremum ist der Funktionswert am rechten Randpunkt: $\begin{eqnarray} \inf f[I_k] = \inf f[x_{k-1}, x_k] = f(x_{k-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sup f[I_k] = \sup f[x_{k-1}, x_k] = f(x_{k}) \end{eqnarray}$
16.12.2009, 01:07	Peter_spycher	Auf diesen Beitrag antworten »
herzlichen dank. gecheckt
16.12.2009, 01:15	Peter_spycher	Auf diesen Beitrag antworten »
ach doch noch ne kleine frage: wenn ich jetzt einen rotationskörper hätte wäre dann z.b. die allgemeine Formel für die Obersumme. $\begin{eqnarray} O_n=\pi \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \ sup \ f(I_k)^2 \cdot \Delta x \end{eqnarray}$
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16.12.2009, 01:31	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also $\begin{eqnarray} O_n=\pi \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \left( \sup \ f(I_k) \right)^2 \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ bzw. in Kurzschreibweise $\begin{eqnarray} O_n=\pi \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} \sup\nolimits^2 \ f(I_k) \cdot \Delta x \end{eqnarray}$ Wenn das Intervall nicht in n gleich große Teile, sondern irgendwie zerlegt wird, muss man halt noch $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \Delta x_k = x_{k}-x_{k-1} \end{eqnarray}$ ersetzen.

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