Vektoranalysis: Konservatives Feld

16.12.2009, 01:22

Mulder

Vektoranalysis: Konservatives Feld

Hallo,

muss nochmal eine Frage zum Übungsblatt loswerden. Erstmal die Definition auf dem Übungsblatt:

Für $\begin{eqnarray*} D \in \mathbb R^d \setminus \{0 \} \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ ein Zentralfeld, falls gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{g(x)}{\| x \|} x \quad \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} g: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die Fragestellung ist nun, ob jedes Zentralfeld konservativ ist. Man könnte meinen, dass sich dazu wohl so einiges im Internet finden lassen würde, aber das hielt sich in Grenzen. So wie ich das mitbekommen habe, kann man die Fragestellung aber zumindest mit "JA" beantworten. Aber das zu zeigen fällt mir nun etwas schwer. Es ist noch ein Hinweis dazu gegeben:

Hinweis: Integriere $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x_2}{\| x \|} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einmal auf direktem Weg von $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (2,0) \end{eqnarray*}$ und einmal entlang geeigneter Umwege mit einem Anteil entlang der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse.

Okay, also soll ich wohl über die Wegunabhängigkeit gehen. Wobei mich hier etwas wundert, wohin das führen soll, wenn ich das für ein spezielles g(x) und mit der Einschränkung auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zeigen soll. Aber mal ganz davon abgesehen kriege ich selbst das nicht gebacken. Ich wollte mir jetzt eigentlich zwei geeignete Kurven parametrisieren.

Das wäre im Falle des direkten Weges doch: $\begin{eqnarray*} \gamma_1(t) = \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} \, \, , \, \, 1 \leq t\leq 2 \end{eqnarray*}$

Als Umweg mit einem Anteil entlang der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse wollte ich jetzt erstmal was parabelförmiges nehmen, beispielsweise sowas hier:

$\begin{eqnarray*} \gamma_2(t) = \begin{pmatrix} t \\ (t-\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} \end{pmatrix} \, \, , \, \, 1 \leq t\leq 2 \end{eqnarray*}$

Das hier benötigte Kurvenintegral ist doch: $\begin{eqnarray*} \int_\gamma f(x) \, \dx = \int \langle f(\gamma(t)) , \dot \gamma(t) \rangle \, \mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

Aber nun stellen sich mir zwei Fragen: Für $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ wird ja irgendwie $\begin{eqnarray*} f(\gamma_1(t)) \end{eqnarray*}$ immer null, weil die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Komponente ja immer null ist und mein g(x) ja nunmal so definiert ist. Und über 0 kann ich ja schlecht integrieren. Was verstehe ich da denn nun falsch?

Und bei der parabelförmigen Kurve scheint sich ein Integral zu ergeben, das unmöglich zu lösen ist. Das wird so hässlich, dass das eigentlich nicht zweckmäßig ist. Gibt es geeignetere Kurven (vielleicht irgendein parametrisierter Kreis oder sowas)?

Da wäre ich für den ein oder anderen Gedanken dazu dankbar. smile

16.12.2009, 10:22

Ehos

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Ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{f}(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ heißt konservativ, wenn jedes geschlossenen Kurvenintegral über dieses Feld verschwindet, also

$\begin{eqnarray*} 0=\oint \! \vec{f}(\vec{x})\, d\vec{x} \end{eqnarray*}$ .

Physikalisch bedeutet dies, dass entlang dieser geschlossenenen Kurve keine Arbeit verrichtet wird. (Das gilt nur für die Kurve insgesamt, nicht für Teilabschnitte.) Man beweist dies, indem man das geschlossene Kurvenintegral auf eine einfaches Integral über den momentanen Abstand $\begin{eqnarray*} |\vec{x}| \end{eqnarray*}$ vom Zentrum zurückführt. Dazu wählt man $\begin{eqnarray*} |\vec{x}| \end{eqnarray*}$ als Kurvenparameter. Dann ist das Differenzial im obigen Kurvenintegrals zu ersetzen durch

$\begin{eqnarray*} d \vec{x}=\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\,d|\vec{x}| \end{eqnarray*}$

Das Kurvenintegral wird also zu

$\begin{eqnarray*} 0=\oint \! \vec{f} (\vec{x}) \, \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} \, d|\vec{x}| \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} \vec{f}(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ setzen wir das Zentralfeld $\begin{eqnarray*} \vec f (\vec{x})=g(|\vec{x}|)\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} \end{eqnarray*}$ ein, also

$\begin{eqnarray*} 0=\oint \! g (|\vec{x}|) \, \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} \, d|\vec{x}| \end{eqnarray*}$ .

Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} \end{eqnarray*}$ ergibt offenbar den Wert 1, weil beide Faktoren parallele Einheitsvektoren sind. Es bleibt

$\begin{eqnarray*} 0=\int_a^b \! g (|\vec{x}|) \, \, d|\vec{x}| \end{eqnarray*}$ .

Damit haben wir wie gewünscht das geschlossese Kurvenintegral in ein "normales", eindimensionales Integral entlang des Abstandes $\begin{eqnarray*} |\vec{x}| \end{eqnarray*}$ umgewandelt, wobei die Integrationsgrenzen a,b gerade der Anfangsabstand $\begin{eqnarray*} a=|\vec{x}_1| \end{eqnarray*}$ und der Endabstand $\begin{eqnarray*} b=|\vec{x}_2| \end{eqnarray*}$ sind. Da beide Abstände wegen der Geschlossenheit der Kurve identisch sind, verschwindet das Integrationsintervall [a,b] und damit auch das gesamte Integral. Es wird also keine Arbeit verrichtet, wie es sein muss.

Die Energie bleibt also beim geschlossenen Umlauf erhalten. Daher kommt übrigens auch der Ausdruck "konservatives Kraftfeld", denn "conservare" heißt auf latein "erhalten". Denke an Konservenbüchsen usw.

16.12.2009, 10:40

Huggy

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RE: Vektoranalysis: Konservatives Feld

Zitat:

Die Fragestellung ist nun, ob jedes Zentralfeld konservativ ist. Man könnte meinen, dass sich dazu wohl so einiges im Internet finden lassen würde, aber das hielt sich in Grenzen. So wie ich das mitbekommen habe, kann man die Fragestellung aber zumindest mit "JA" beantworten.

Nein, das kann man nicht! Und das gegebene Kraftfeld ist ein Gegenbeispiel.

Das Integral auf der Geraden von (1, 0) nach (2, 0) ist 0, weil dort $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Nimm folgenden alternativen Weg:
- von (1, 0) in einem Viertelkreis zum Punkt (0, 1).
- von (0, 1) auf einer Geraden zum Punkt (0,2).
- von (0, 2) in einem Viertelkreis zum Punkt (2, 0).
Auf den Viertelkreisen ist das Integral 0, weil dort das Kraftfeld als Zentralkraftfeld senkrecht auf dem Weg steht. Auf dem Geradenstück von (0, 1) nach (0, 2) ist das Integral aber nicht 0. Also ist das Integral insgesamt auf dem alternativen Weg nicht 0. Damit ist das Integral nicht wegunabhängig.

@ Ehos: In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} g(\vec x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} g(|\vec x|) \end{eqnarray*}$ .

16.12.2009, 11:08

Ehos

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Meine obige Antwort bezog sich tatsächlich auf die Funktion $\begin{eqnarray*} g(|\vec{x}|) \end{eqnarray*}$ und ist somit zu speziell. Im Falle einer Funktion $\begin{eqnarray*} g(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ ist das gegebene Zentralfeld in der Tat nicht immer konservativ.

Für konservative Felder $\begin{eqnarray*} \vec{f}(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ müsste im 3D-Raum gelten

$\begin{eqnarray*} rot(\vec{f})=0 \end{eqnarray*}$

Setzt man dort das gegebene Zentralfeld ein und benutzt die allgemeine Formel $\begin{eqnarray*} rot(g \cdot \vec{v})=g\cdot rot(\vec{v})+(\nabla g) \times \vec{v} \end{eqnarray*}$ mit der skalaren Funktion $\begin{eqnarray*} g=g(\vec{x}) \end{eqnarray*}$ und der Vektorfunktion $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} \end{eqnarray*}$ , sieht man, dass nur der erste Summand auf der rechten Seite verschwindet - aber nicht immer der zweite.

16.12.2009, 13:05

Mulder

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Vielen Danke erst einmal euch beiden. smile

Zitat:

Original von Huggy
Nein, das kann man nicht! Und das gegebene Kraftfeld ist ein Gegenbeispiel.

Ah, den Gedanken hatte ich zunächst auch, aber ich habe viele Seiten gefunden, in denen stand "jedes Zentralfeld ist konservativ".

Wikipedia: Zentralfeld beispielsweise.

Aber vermutlich ist das da eine etwas andere Definition von Zentralfeldern?

Zitat:

Original von Huggy
Das Integral auf der Geraden von (1, 0) nach (2, 0) ist 0, weil dort $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ 0 ist.

Okay, dann lag ich da ja doch richtig.

Zitat:

Original von Huggy
Nimm folgenden alternativen Weg:
- von (1, 0) in einem Viertelkreis zum Punkt (0, 1).
- von (0, 1) auf einer Geraden zum Punkt (0,2).
- von (0, 2) in einem Viertelkreis zum Punkt (2, 0).
Auf den Viertelkreisen ist das Integral 0, weil dort das Kraftfeld als Zentralkraftfeld senkrecht auf dem Weg steht. Auf dem Geradenstück von (0, 1) nach (0, 2) ist das Integral aber nicht 0. Also ist das Integral insgesamt auf dem alternativen Weg nicht 0. Damit ist das Integral nicht wegunabhängig.

Hier muss ich nochmal nachhaken. Das sind ja nun ganz andere Wege, die du da vorgibst. Ich dachte, ich müsse zwei verschiedene Wege zwischen den gleichen Punkten betrachten. Wegunabhängigkeit bedeutet doch nur, dass die (physikalische) Arbeit nur von Start- und Endpunkt abhängt. Die variieren aber doch in deiner Auflistung!? Oder steckt da jetzt irgendein System hinter, das ich nicht durchblicke?

16.12.2009, 13:25

Huggy

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Zitat:

Original von Mulder
Ah, den Gedanken hatte ich zunächst auch, aber ich habe viele Seiten gefunden, in denen stand "jedes Zentralfeld ist konservativ".

Wikipedia: Zentralfeld beispielsweise.

Aber vermutlich ist das da eine etwas andere Definition von Zentralfeldern

Richtig!
Der Begriff Zentralfeld ist leider nicht genormt. In der Wikipedia ist er anders definiert als in deiner Aufgabe. In deiner Aufgabe wird nur verlangt das die Richtung der Kraft überall auf das Zentrum gerichtet ist oder von ihm weg. In der Wikipedia ist zusätzlich verlangt, dass der Betrag der Kraft nur vom Abstand zum Zentrum abhängt.

Zitat:

Diesen Einwand verstehe ich nicht. Beide Wege führen doch vom Punkt (1, 0) zum Punkt (2, 0). Der erste Weg auf einer Geraden und der von mir vorgeschlagene Alternativweg über die Zwischenstationen (0, 1) und (0, 2).

16.12.2009, 13:34

Mulder

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Ach, jetzt verstehe ich deinen Einwand. Ich hätte es mir vielleicht mal aufzeichnen sollen. Ich hatte das so gelesen, dass das jetzt drei unterschiedliche Alternativwege sind, aber es ist ja nur einer - bestehend aus drei Teilwegen. Also betrachte ich einfach die Summe von drei Kurvenintegralen, bei denen die Kreisstücke 0 ergeben und das Geradenstück auf der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ Achse nicht. Okay, sieht gut aus, probiere ich mal.

Kannst du mir nochmal kurz bei der Parametrisierung helfen? Bei Kreisen fällt mir da immer schwer (daher hatte ich ja erst die parabel genommen, das fällt leichter). Der Einheitskreis wäre ja parametrisiert durch:

$\begin{eqnarray*} \gamma_K(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie verschiebe ich den denn nun? Damit habe ich wenig Erfahrung... verwirrt

Nachtrag: Da ändern sich ja auch die Grenzen, oder? Im Falle des Einheitskreises wäre das ja im Fall eines Viertelkreises wohl von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , oder?

Nachtrag 2: Also, Ich nenne die drei Teilwege jetzt mal $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ (erster Viertelkreis), $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ (Geradenstück) und $\begin{eqnarray*} \gamma_3 \end{eqnarray*}$ zweiter Viertelkreis.

Dann ist $\begin{eqnarray*} \gamma_2(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix} \, \, , \, \, 1 \leq t \leq 2 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \gamma_3(t) = 2\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \, \, , \, \, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Ist das okay so? Falls ja: Bei $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt noch Probleme. Das Ding ist verschoben, und ich weiß nicht genau, wie ich das nun anstelle. Vielleicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} \gamma_1(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) +2 \\ \sin(t) +2 \end{pmatrix} \, \, , \, \, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Oder ist das Quatsch?

Edit nochmal: Okay, das kann eigentlich nicht sein, das ist dann ja nicht mehr der Einheitskreis, der Radius ist dann ja ein ganz anderer... *grübel*

16.12.2009, 15:41

Huggy

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Es gibt an und für sich keinen Grund, Die Teilintegrale über die Viertelkreise mit einer Parameterdarstellung auszurechnen, denn es ist ja offensichtlich, dass dort der Kraftvektor und der Richtungsvektor des Weges senkrecht aufeinanderstehen, das Skalarprodukt also 0 ist. Und ein Integral über 0 ist 0.

Wenn du das dennoch machen willst, es gibt keinen verschobenen Kreis. Beide Kreise haben ihren Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Der eine hat den Radius 1, der andere den Radius 2. Du solltest dir das wirklich mal aufzeichnen.

16.12.2009, 15:59

Mulder (Gast)

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Ach, ich bin einfach nur behämmert. Einer der Momente, in denen das Hirn vollkommen aussetzt. Ich habe mir den Kreis unnötig kompliziert gesetzt. Hier, mal eine Skizze, wie ich das aufgemalt habe. Das rote habe ich gewählt, anstatt einfach den blauen zu nehme, der dann wirklich dem EInheitskreis mit Mittelpunkt im Urpsrung entspricht.

[attach]12585[/attach]

Blöde, oder? Big Laugh

Jetzt komm ich zurecht, vielen Dank! Wink

16.12.2009, 16:10

Huggy

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Ach Gott, wie oft habe ich mir das Leben schon selbst schwer gemacht. Das passiert halt manchmal.

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