bedingte Verteilung Zufallsvektor

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16.12.2009, 08:50	gollo	Auf diesen Beitrag antworten »
bedingte Verteilung Zufallsvektor Folgende Aufgabe hapert ein bisschen: Seien $\begin{eqnarray} (X_{1},...,X_{n}) \end{eqnarray}$ unabhänge ZV mit Verteilung $\begin{eqnarray} X_{i} ~ Poi(\lambda_{i}) \end{eqnarray}$ Bestimmen sie die bedingte Verteilung des ZUfallsvektors $\begin{eqnarray} (X_{1},...,X_{n}) \end{eqnarray}$ gegeben $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n}X_{i}=s \end{eqnarray}$ . Gesucht ist dann doch quasi: $\begin{eqnarray} P(X_{1}=x_{1},....,X_{n}=x_{n}\|X_{1}+.....+X_{n}=s) \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} P(X_{1}=x_{1},....,X_{n}=x_{n}\|X_{1}+.....+X_{n}=s) =\frac{P(X_{1}=x_{1},....,X_{ n}=x_{n},X_{1}+.....+X_{n}=s)}{P(X_{1}+.....+X_{n}=s)} \end{eqnarray}$ Dabei müsst dann doch gelten: $\begin{eqnarray} P(X_{1}+.....+X_{n}=s)=Poi_{\lambda_{1}+....+\lambda_{n}}(s) =\frac{1}{s!}e^{-( \lambda_{1}+....+\lambda_{n})}(\lambda_{1}+....+\lambda_{n})^{s} \end{eqnarray}$ Dann: $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{x_{1}+.+x_{n}=n}P(X_{1}=x_{1})\cdot... \cdot P(X_{n}=x_{n})}{\frac{1}{s!}e^{-(\lambda_{1}+....+\lambda_{n})}(\lambda_{1}+....+\lambda_{n})^{s}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(X_{i}=x_{i})=\frac{\lambda_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}\cdot e^{-\lambda_{i}} \end{eqnarray}$ eingesetzt erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{x_{1}+.+x_{n}=n}\frac{\lambda_{1}^{x_{i}}}{x_{1}!}\cdot e^{-\lambda_{1}}\cdot... \cdot \frac{\lambda_{n}^{x_{n}}}{x_{n}!}\cdot e^{-\lambda_{n}}}{\frac{1}{s!}e^{-(\lambda_{1}+....+\lambda_{n})}(\lambda_{1}+....+\lambda_{ n})^{s}} \end{eqnarray}$ jedoch frag ich mich wie ich das mit der Summe machen soll, bei dem generellen beispiel von X gegeben X+Y=k habe ich ja ganz einfach folgendes: $\begin{eqnarray} P(X=j\|X+Y=k)=\frac{P(X=j)\cdot P(Y=k-j)}{P(X+Y=k)}=\frac{e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j}}{j!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}}{e^{-\lambda - \mu}\frac{( \lambda+\mu)^{k}}{k!}}=B(k,\frac{\lambda}{\lambda+\mu}) \end{eqnarray}$ Deswegen frag ich mich ob ich soweit richtig gerechnet habe, und wenn ja, wie geht es weiter?
16.12.2009, 10:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist alles soweit richtig, und für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ hast du ja auch die Binomialverteilung erkannt. Für beliebiges $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ fehlt dir vermutlich nur noch das geeignete Stichwort: Multinomialverteilung
16.12.2009, 11:29	gollo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok multinomial ist ja nach def: $\begin{eqnarray} P(X_{1}=x_{1},....X_{n}=x_{n})=\frac{s!}{x_{1}!....x_{n}!}p_{1}^{x_{1}}....p_{n}^{x_n} \end{eqnarray}$ ist dann mein $\begin{eqnarray} p_{1}^{x_{1}}=(\frac{\lambda_{1}^{x_{1}}}{x_{1}!}e^{-\lambda_{1}})^{x_1} \end{eqnarray}$ ?
16.12.2009, 11:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Kürz mal ordentlich deinen Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{x_{1}+.+x_{n}=n}\frac{\lambda_{1}^{x_{i}}}{x_{1}!}\cdot e^{-\lambda_{1}}\cdot... \cdot \frac{\lambda_{n}^{x_{n}}}{x_{n}!}\cdot e^{-\lambda_{n}}}{\frac{1}{s!}e^{-(\lambda_{1}+....+\lambda_{n})}(\lambda_{1}+....+\lambda_{ n})^{s}} \end{eqnarray}$ , es verschwinden alle Exponentialfunktionsausdrücke, die Fakultäten kann man zum Multinomialkoeffizienten gruppieren, und die restlichen Potenzen bilden dann die $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ , und zwar gemäß $\begin{eqnarray} p_i := \frac{\lambda_i}{\lambda_1+\ldots + \lambda_n} \end{eqnarray}$ .
16.12.2009, 12:03	gollo	Auf diesen Beitrag antworten »
als lösung hab ich grad gefunden, dass $\begin{eqnarray} P(X_{1}=x_{1},....,X_{n}=x_{n}\|X_{1}+.....+X_{n}=s)=\frac{s!}{x_{1}!...x_{n}!} \prod_{i}(\frac{\lambda_{i}}{\sum_{i} \lambda_{i}}})^{x_{i} \end{eqnarray}$ Wie kommen die darauf? also ich hab unten ja noch den ausdruck $\begin{eqnarray} (\lambda_{1}+....+\lambda_{n})^{s} \end{eqnarray}$ den kann ich doch so schreiben: $\begin{eqnarray} \sum_{k_{1}+...+k_{n}=s} \binom{s}{k_{1},..,k_{n}} \lambda_{1}^{k_{1}}... \lambda_{n}^{k_{n}} \end{eqnarray}$ doch wie man auf die summe im ergebnis kommt weiss ich nicht. unter wiki multinomialkoeffizient steht ja so was ähnliches, nur genau verkehrtherum mit der summe. doch wie form ich meins so weit um?
16.12.2009, 12:13	gollo	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ok. hab den beitrag von dir erst gesehen als ich shcon nen neuen post verfasst habe. ok komplett gekürzt hab ich dann: $\begin{eqnarray} \frac{s!}{x_{1}!....x_{n}!} \frac{\lambda_{1}^{x_1}+...+\lambda_{n}^{x_n}}{(\lambda_{1}+...+\lambda_{n})^{s}}=\binom{s}{x_{1}!....x_{n}!}\frac{\lambda_{1}^{x_{1}}}{(\lambda_{1}+...+\lambda_{n})^{x_{1}}}...\frac{\lambda_{n}^{x_{n}}}{(\lambda_{1}+...+\lambda_{n})^{x_{n}}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_{i}=\frac{\lambda_{n}}{(\lambda_{1}+...+\lambda_{n})} \end{eqnarray}$ ok
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16.12.2009, 12:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekur: Im linken Ausdruck im Zähler steht nicht $\begin{eqnarray} \lambda_{1}^{x_1}+...+\lambda_{n}^{x_n} \end{eqnarray}$ , sondern natürlich $\begin{eqnarray} \lambda_{1}^{x_1}\cdot \ldots \cdot \lambda_{n}^{x_n} \end{eqnarray}$ .
16.12.2009, 12:17	gollo	Auf diesen Beitrag antworten »
axo und nun ja das ist ja letztendlich: $\begin{eqnarray} \binom{s}{x_{1}!...x_{n}!} \prod_{i}^{n} (\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{1}+.....+\lambda_{n}})^{x_{i}} \end{eqnarray}$ und das ist jetzt denk ich mal richtig. oder? vielen Dank Arthur Dent
16.12.2009, 13:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist es.

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