Hilbertraum

16.12.2009, 10:08	steffi22156	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertraum Hallo zusammen, habe Probleme mit folgender Aufgabe: 1. Im Allgemeinen ist die Summe von zwei abgeschlossenen, linearen Unterräumen eines Hilbertraumes nicht abgeschlossen. 2. Sind M, N abgeschlossenen Unterräume eines Hilbertraums und ist M Teilmenge N, wobei M nicht gleich N, so gibt es einen Vektor z (ungleich 0), aus N mit : z orthogonal zu M. Hoffe mir kann jemand helfen.
16.12.2009, 22:06	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1. Betrachte mal $\begin{eqnarray} \ell_2(\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ , also quadratsummierbare Funktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} N=\overline{span\{e_0,e_1,e_2,e_3,...\}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M=\overline{span\{e_{-1}+e_{1},e_{-2}+2e_{2},e_{-3}+3e_{3},...\}}, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ an der j-ten Stelle eine 1 hat und sonst Nullen. Man kann sich leicht überlegen, dass $\begin{eqnarray} \overline{N+M}=\ell_2(\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ gilt. Aber z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{1}{k^2}e_k=(...,\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{4},1,0,1,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{9},...) \notin N+M \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ divergiert. zu 2. Ein Hilberraum H besitzt ein vollständiges, abzählbares Orthonormalsystem $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \overline{span\{S\}}=H \end{eqnarray}$ . Betrachte $\begin{eqnarray} (N\setminus M) \cap S \end{eqnarray}$ . Ist diese Menge nicht-leer, dann bist du fertig. Ist diese Menge leer, dann folgere, dass $\begin{eqnarray} \overline{N}\subseteq \overline{M} \end{eqnarray}$ gilt, was deinen Voraussetzungen widerspricht.
16.12.2009, 23:00	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach blöd, das muss ja nur quadrarsummierbar sein... Also ist $\begin{eqnarray} \sum_{k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{1}{k^2}e_k=\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{1}{k^2}(e_{-k}+ke_k)+\sum_{k \in \mathbb{N}}\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{k}\right)e_k\in N+M \end{eqnarray}$ , aber z.b. gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k \in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{1}{k}e_k=(...,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2},1,0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},...) \notin N+M. \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »