Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene

16.12.2009, 11:11

rosario

Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene

Hallo, ich soll den Schnittwinkel zwischen einer Kurve und einer Tangentialebene bestimmen und komme nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

Im Punkte P(2; 2;-3) schneidet die Kurve

r(t)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5*t^2 \\ \frac{4}{t}\\ 0,5t-t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Fläche $\begin{eqnarray*} 0=x^2-4y^2-4z \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie den Schnittwinkel, d.h. den Winkel zwischen dem Tangentenvektor der Kurve und
der Tangentialebene der Fläche im Schnittpunkt.

Die Tangentialebene hab ich schon bestimmt: $\begin{eqnarray*} 4x-16y-4z+12=0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich den Schnittwinkel zwischen einer Kurve und einer Tangentialebene bestimmen soll.

Wenn r(t)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5*t^2 \\ \frac{4}{t}\\ 0,5t-t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Tangente der Kurve darstellt, dann stellt der Tangentenvektor eine Gerade dar oder?

Kann ich dann nicht einfach die Formel für den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene anwenden?
$\begin{eqnarray*} \phi=arcsin(\frac{|\vec{n}* \vec{a}| }{|\vec{n}|*|\vec{a}|} ) \end{eqnarray*}$

Wobei mein Normalenvektor einfach $\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 4\\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Vielen Dank schonmal smile

16.12.2009, 12:21

wisili

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RE: Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene

Zitat:

Original von rosario
Im Punkte P(2; 2;-3) schneidet die Kurve
r(t)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{t}{2} \\ \frac{4}{t}\\ 0,5t-t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Fläche $\begin{eqnarray*} 0=x^2-4y^2-4z \end{eqnarray*}$

.. ist falsch. Bitte den Zahlenfehler ausmerzen.

16.12.2009, 12:27

rosario

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Sorry, habs jetzt korrigiert

16.12.2009, 13:47

wisili

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Der Tangenten-Richtungsvektor fehlt noch.
Deine Vorhaben führen aber zum Ziel.

16.12.2009, 14:20

rosario

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RE: Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene
Die Punkt-Richtungs-Form einer Geraden ist doch:

$\begin{eqnarray*} \vec{r} =\vec{r1} +\lambda \vec{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5*t^2 \\ \frac{4}{t}\\ 0,5t-t^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} +t*(\begin{pmatrix} a1 \\ a2 \\ a3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} =\frac{1}{t} \begin{pmatrix} 0,5*t^2-2 \\ 4/t-2 \\ 0,5t-1+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sieht kompliziert aus, ich glaub nicht dass es richtig ist smile

16.12.2009, 20:47

wisili

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RE: Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene
Die Gleichung der Tangentialebene stimmt, könnte aber noch durch 4 geteilt werden.
Der gesuchte Kurvenrichtungsvektor ist die Ableitung des Linienvektors, wobei zum Schluss t=2 eingesetzt wird.
(Deine zwei letzten Gleichheitszeichen stimmen nicht.)

16.12.2009, 22:45

rosario

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RE: Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene
woher kommt den t=2 ?

17.12.2009, 10:26

wisili

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RE: Schnittwinkel zwischen Tangentenvektor und Tangentialebene
P liegt auf der Kurve und hat den Parameterwert t=2.

24.12.2009, 11:21

rosario

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ich bin mir immer noch nicht so sicher, wie man auf t=2 kommt.

Ich habs zwar versucht, weis aber nicht ob mein Ergebnis nur durch Zufall zustande gekommen ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t^2/2 \\ 4/t \\ t/2-t^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} <br /> <br /> \frac{1}{2}*t^2+ 4/t+ 1/2*t-t^2=2+2-3<br /> -\frac{1}{2} *t^3-\frac{1}{2}*t^2-t+4=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Gleichung löse, hab ich 3 Nullstellen

t1=2 t2/3=komplex

Da zwei Nullstellen komplex sind, kann nur t=2 der gesuchte Parameter sein.

24.12.2009, 11:58

riwe

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P liegt auf der kurve, daher

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.5t^2 \\ \frac{4}{t} \\ 0.5t-t^2 \end{pmatrix} \to t=2 \end{eqnarray*}$

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