Erwartungswertbeweis bei ZV=>0 mit F(x) und f(x)

16.12.2009, 12:31	Harry89	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswertbeweis bei ZV=>0 mit F(x) und f(x) hallo, mir ist vor kurzem ein Bsp untergekommen, dass ich nicht ganz nachvollziehen kann...ich schreib euch mal das Bsp auf: Angabe: Es sei X eine nicht negative Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F(x) und Dichtefunktion f(x). Zeige,dass der Erwartungswert E(x) E(x)= $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! (1-F(x)) \, dx \end{eqnarray}$ ist. Hinweis: Integrieren Sie $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! (1-F(x)) 1\, dx \end{eqnarray}$ partiell. Es bleibt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }(1-F(x))dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} lim_{x \to \infty }(\int_x^\infty \!f(y)\,dyx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty }(\int_x^\infty \!f(y)y\,dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ Dies muss aber der Fall sein, wenn E(x) existiert. Lösung: E(x)= $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! 1-F(x) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \!1\,dx \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! F(x) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left[x\right]_{0}^{\infty} - \int_0^\infty \! F(x) \, dx \end{eqnarray}$ -> Ist die 1. Lösung generell gilt: E(x)= $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! xf(x) \, dx \end{eqnarray}$ partiell integriert: = $\begin{eqnarray} \left[xF(x)\right]_{0}^{\infty}-\int_0^\infty \! F(x)1 \, dx \end{eqnarray}$ Bis hierhin versteh ich noch alles aber dieser Schritt ist mir noch schleierhaft: = $\begin{eqnarray} \left[x1\right]_{0}^{\infty}-\int_0^\infty \! F(x)1 \, dx \end{eqnarray}$ Warum wird $\begin{eqnarray} \left[xF(x)\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \left[x1\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$ ?Mir gehts ums F(X) wird zu 1 könnte mir da jemand von euch helfen? LG und danke im Voraus
16.12.2009, 13:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zerlegung $\begin{eqnarray} \int_0^\infty ~ (1-F(x)) ~ \dd x \stackrel{?}{=} \int_0^\infty ~1 ~ \dd x ~ - ~ \int_0^\infty ~ F(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ ist ungültig: Während links (im Falle der Existenz des Erwartungswertes) ein gültiges, endliches Integral steht, hast du rechts eine Struktur $\begin{eqnarray} \infty - \infty \end{eqnarray}$ erzeugt. Nicht alles, was für endlichen Integrationsbereich (also echte Riemannintegrale) gestattet ist, lässt sich auch auf uneigentliche Integrale übertragen. Zur Lösung: Eigenschaft des Erwartungswertes bzw. auch Zusammenhang Verteilungsfkt. und Dichtefkt. erwartungswert (Umformung)

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