[Stoch. Analysis] Vertauschung von Erwartungswert und Differentiation

16.12.2009, 12:50	spocksbeard	Auf diesen Beitrag antworten »
[Stoch. Analysis] Vertauschung von Erwartungswert und Differentiation Hallo! Ich hab' mich grad neu angemeldet und hoffe mal, dass ich mit meinem ersten Post gegen keine Forenregel verstoße Bekanntermaßen kann man bei einer zufälligen Funktion $\begin{eqnarray} f(x,\omega) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \supset D \times \Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , unter relativ schwachen Voraussetzungen mit dem Satz von Fubini Integration und Erwartungswertbildung vertauschen, da der Erwartungswert das $\begin{eqnarray} {P} \end{eqnarray}$ -Integral über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist, also z. B. $\begin{eqnarray} \mathbf{E}\int_{D} f(x) \mathrm{d}x = \int_{D} \mathbf{E} f(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Die Integration ohne Erwartungswert $\begin{eqnarray} \int f(x,\omega) \mathrm{d} x \end{eqnarray}$ soll dabei immer "realisierungsweise" gemeint sein. Wie sieht es jetzt aus, wenn man das gleiche in Bezug auf die Differentiation einer zufälligen Funktion machen will? D. h. es wird realisierungsweise differenziert, $\begin{eqnarray} f^{\prime} (x, \omega) \end{eqnarray}$ soll f. s. bezüglich $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ existieren (und stetig) sein. Man wünscht sich dann, dass gilt $\begin{eqnarray} \mathbf{E} f^{\prime} (x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathbf{E} f(x) \end{eqnarray}$ Meine bisherigen Ideen gingen dahin, dass man den Erwartungswert als eine Art Parameterintegral ansieht. Dann nimmt man den Satz von Lebesgue und setzt voraus, dass eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} \xi(\omega) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \mathbf{E} \xi < \infty \end{eqnarray}$ , existiert, wobei $\begin{eqnarray} \| f(x,\omega) \| \le \xi (\omega) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \| f^{\prime} (x,\omega) \| \le \xi (\omega) \end{eqnarray}$ fast sicher gelten möge. Das ganze meinetwegen für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ . Kann man meine Argumentation so stehen lassen? Habt Ihr andere Ideen dazu? Vielen Dank Spocksbeard

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