Limiten L'Hospital

16.12.2009, 14:10

TakemetotheHospital

Limiten L'Hospital

Folgende Limiten soll ich berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{p}-1}{x^{q}-1}, p,q\in \mathbb N ,q\geq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)-2sin(x)}{x^{3}} \end{eqnarray*}$

Tipps sind dabei, dass ich die Regel von L'Hospital (die ich nicht verstehe) und (sin(x))' = cos(x) und (cos(x))'= -sin(x) verwenden darf.

Zur Regel von L'Hospital.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x_0>x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = a \Rightarrow \lim_{x_0>x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = a \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Falls ja, verstehe ich trotzdem nicht, wie ich die Regel anwende. Ich bitte um Hilfe!

16.12.2009, 14:15

klarsoweit

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RE: Limiten L'Hospital

Zitat:

Original von TakemetotheHospital
Zur Regel von L'Hospital.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x_0>x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = a \Rightarrow \lim_{x_0>x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = a \end{eqnarray*}$

Etwas unvollständig, wobei mir nicht klar ist, was du da mit dem "x_0 >" willst.

Komplett lautet es: sind f und g in einer Umgebung von x_0 differenzierbare Funktionen und ist f(x_0) = g(x_0) = 0, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = a \Rightarrow \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = a \end{eqnarray*}$

Ich würde mal mit der zweiten Aufgabe anfangen.

16.12.2009, 15:44

TakemetotheHospital

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Naja, ich dachte, es müsste der linksseitige Limes sein. Wenn das nicht der Fall ist:

"f(x_0) = g(x_0) = 0," ist bei den drei Aufgaben erfüllt.
Muss ich die Differenzierbarkeit extra zeigen? Alle außer den Termen mit sin und cos sind Polynome, also differenzierbar. Wie zeige ich die Differenzierbarkeit für Funktionen mit sin und cos?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{x²} = \lim_{x \to 0} \frac{-sin(x)}{2x}= \lim_{x \to 0} \frac{-cos(x)}{2}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Für (sin(2x))' brauche ich die Kettenregel.

Also ist (sin(2x))' = 2cos(2x), oder?
und: (2cos(2x))' = -4sin(2x)
(-4sin(2x))' = -8cos(2x)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)-2sin(x)}{x^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{2cos(2x)-2cos(x)}{3x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-4sin(2x)+2sin(x)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-8cos(2x)+2cos(x)}{6} = \frac{-8cos(0)+2cos(0)}{6} = \frac{-8+2}{6} = - \frac{6}{6} = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{p}-1}{x^{q}-1} = \lim_{x \to 1} \frac{px^{p-1}}{qx^{q-1}} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

16.12.2009, 15:49

klarsoweit

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Ja.

Zitat:

Original von TakemetotheHospital
Wie zeige ich die Differenzierbarkeit für Funktionen mit sin und cos?

Die kann als bekannt vorausgesetzt werden.

16.12.2009, 15:51

TakemetotheHospital

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Ich bitte, den Doppelpost zu entschuldigen.

Ich hätte noch überprüfen müssen, dass g'(x_0) = f'(x_0) = 0 und g''(x_0) = f''(x_0) = 0 usw., um L'Hospital noch 'mal anwenden zu können, oder?

Habe ich jetzt im Kopf gemacht und es scheint zu passen.

16.12.2009, 15:54

TakemetotheHospital

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Okay, dann kommt jetzt der versprochene Doppelpost.

Ich danke Dir, du hast mir sehr geholfen!

Bis zum nächsten Mal. :-)

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