Integral von exp(x) durch Summen

16.12.2009, 14:32	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von exp(x) durch Summen Hallo, ich muss die Funktion exp(x) auf dem Intervall [0;a] mittels Ober- bzw. Untersummen berechnen. Also habe ich erst mal eine Partition definiert und zwar so: $\begin{eqnarray} P_{n} := \{x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{k} = k\frac{a}{n}. \end{eqnarray}$ Da die Funktion exp(x) streng monoton steigend ist, kann man für die Untersumme stets sagen: $\begin{eqnarray} s(P_{n}, exp) = \frac{a}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{exp((i-1)\cdot\frac{a}{n})} \end{eqnarray}$ . Und analog für die Obersumme: $\begin{eqnarray} S(P_{n}, exp) = \frac{a}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}{exp(i\cdot\frac{a}{n})} \end{eqnarray}$ . (den konstanten Faktor $\begin{eqnarray} \Delta x = \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ hab ich vor die Summe genommen). Für die weitere Herleitung hänge ich jedoch nun fest. Vielen Dank für jeden Hinweis! Grüsse ppocket
16.12.2009, 14:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Untersumme kannst du so rechnen: $\begin{eqnarray} \frac{a}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( \operatorname{e}^{\frac{a}{n}} \right)^k \end{eqnarray}$ Und jetzt beachte die Formel für die geometrische Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1} \gamma^k \end{eqnarray}$ . Für den späteren Grenzübergang ist es hilfreich, dir zu überlegen, was der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{\operatorname{e}^h - 1}{h} \ \ \mbox{für} \ \ h \to 0 \end{eqnarray}$ ist. Denke an die Differentialrechnung und setze $\begin{eqnarray} h = \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ .
16.12.2009, 15:38	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Antwort, danke schön! Der Grenzwert ist 1, da dieser Term genau des Differenzialquotienten für exp(x) im Punkt 0 entspricht. Setzt man h = a/n und lässt, wie für die Untersumme vorgeschrieben n gegen Unendlich gehen, geht h gegen 0. Super, alles verstanden, danke!
16.12.2009, 16:04	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch noch schnell zum Sichersein wegen dieser Summenformel: $\begin{eqnarray} \frac{a}{n}\cdot\sum_{k=0}^{n-1}{exp\left(\frac{a}{n}\right)^{k}} = \frac{a}{n}\cdot\frac{exp\left(\frac{a}{n}\right)^{n} - 1}{exp\left(\frac{a}{n}\right) - 1} = \frac{a}{n}\cdot\frac{exp(a) - 1}{exp\left(\frac{a}{n}\right) - 1} \end{eqnarray}$ Ist hier soweit alles richtig? Und wie jetzt weiter? Ich muss das n jetzt nach Unendlich gehen lassen, doch wie kann ich jetzt eine Abschätzung machen? Vielen Dank nochmals, Gruss ppocket
16.12.2009, 18:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine beiden Antworten verwirren mich. Erst sagst du, du habest es verstanden. Und dann fragst du im nächsten Beitrag genau nach dem, was du verstanden zu haben behauptetest. Wie auch immer. Mit $\begin{eqnarray} h = \frac{a}{n} \end{eqnarray}$ schreibt sich der letzte Term so: $\begin{eqnarray} h \cdot \frac{\operatorname{e}^a - 1}{\operatorname{e}^h - 1} = \frac{\operatorname{e}^a - 1}{\frac{\operatorname{e}^h - 1}{h}} \end{eqnarray}$
16.12.2009, 20:57	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das "alles klar!" war für die Grenzwertbetrachtung gedacht, nicht für das Ganze, da hab ich mich ein Wenig falsch ausgedrückt. Nun habe ich alles zusammen, die Aufgabe ist gelöst, vielen Dank! Grüsse ppocket
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