Logarithmische Gleichung

16.12.2009, 16:59

tagauch

Logarithmische Gleichung

1)

81^{(x+2)/(x+12)}=1/3

ich glaube:

(3^4){(x+2)/(x+12)}=3^-1

log3(4x+8) - log3(4x+48)= log3(-1) ist das bis hierhin richtig?

2)

x^lgx = 10

x = lg(10)

x = 1 richtig?

16.12.2009, 17:13

Rechenschieber

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1)
Der ganze Bruchterm, also dein Exponent, sei a
Dann ist a=(lg 1/3) / (lg 81)
Diesen Wert für a setzt du mit dem Bruchterm gleich und findest x.

2)
Zuerst prüfe einmal was herauskommt, wenn du 1 einsetzt.
Also Probe...
LGR

16.12.2009, 19:39

tagauch

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1) ich komme nicht dahinter, wie du a berechnest

2) okay 1 ist es nicht, habs mit dem taschenrechner ausprobiert. hab bissl rumprobiert und stelle fest, dass x=10 ist, da 10^lg(10) = 10

aber wie komme ich über einen rechenweg darauf?

edit: zu 1) nochmal: kommst du so darauf?

81^a= 1/3 logarithmieren und dann : lg(81)

(x+2)/(x+12)= [lg(1/3)/lg(81)]

16.12.2009, 19:47

mYthos

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1)

Mache es doch so:
Setze statt

$\begin{eqnarray*} 81 = 3^4 \ \text{und } \frac 1 3 = 3^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann befinden sich auf beiden Seiten Potenzen mit gleicher Basis und du kannst die Exponenten gleichsetzen.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} 81^a = 3^{4a} \end{eqnarray*}$

2)

Logarithmieren führt direkt zu

$\begin{eqnarray*} (\lg x)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Aus dieser quadratischen Gleichung folgt umgehend $\begin{eqnarray*} \lg x \end{eqnarray*}$ und folgend auch x.

mY+

16.12.2009, 20:36

tagauch

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1)

nächster versuch:

81^a= 1/3 <=> 3^(4*a)=3^-1

4* ((x+2)/(x+12)) = -1

((4x+8)/(4x+48)) = -1

4x+8 = -4x-48

8x=40

x=5 probe: falsch. was hab ich falsch gemacht?

2) kannst du mir zeigen, wie du es logarithmiert hast?

16.12.2009, 21:04

tagauch

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1)

sehe gerade einen fehler, bringt trotzdem nix:

4x+8 = -4x-48

8x = -56

x = -7

16.12.2009, 21:49

Rechenschieber

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Es ist doch nur das Potenz- bzw. Logarithmusgesetz was du anwenden musst.

81 hoch a = 1/3 jetzt beide Seiten logarithmieren

lg 81 * a = lg 1/3

woraus folgt a = -1/4

Und nun muss dein kompletter Bruchterm -1/4 ergeben.

Das kann doch nicht so schwer sein, dies zu verstehen...

LGR

16.12.2009, 21:52

mYthos

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@Rechenschieber: Logarithmieren ist bei dieser Art der Exponentialgleichung NICHT notwendig.

Zitat:

Original von tagauch
...
4* ((x+2)/(x+12)) = -1

((4x+8)/(4x+48)) = -1
...

Sag' mal, wie multiplziert man einen Bruch mit einer Zahl wirklich?

$\begin{eqnarray*} \frac a b \cdot n = \frac{a \cdot n} b \end{eqnarray*}$

2)

$\begin{eqnarray*} \log x^n = n \log x \end{eqnarray*}$

mY+

16.12.2009, 22:37

tagauch

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1)
ja, dummer fehler von mir mit der bruchrechnung:

also: nenner wird nur mit 1 multipliziert

4x+8 / x+12 = -1

4x+8 = -x-12

5x = -20

x = -4 probe: RICHTIG!!!! DANKE! ich brauch urlaub... Big Laugh

ich verstehe nun beide rechenwege.

2)

x^lgx = 10 logarithmieren mit der basis 10

lg(x^lgx)= lg(10) <=> lg(x) * lg(x) = 1

lg(x)² = 1

10^1 = 10 = x probe sagt richtig, danke!

16.12.2009, 22:57

Rechenschieber

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@mYthos

Ach weißt du, lieber mYthos, du und ich wissen mit Zahlen umzugehen, und dies fiel mir sofort ins Auge.
Warum die Dinge nicht von zwei Seiten begreiflich machen.
Kann doch nicht schaden.
Als ich hier im Forum eine ähnliche Aufgabe aufgelöst hatte, hieß es, das kann man nur anwenden, wenn man es versteht. Obwohl es viel, viel einfacher war, die Lösung zu finden.

Wenn sich jemand wirklich mit einer Aufgabe beschäftigt, wird er letztendlich den Zusammenhang auch erkennen und verstehen.

Auch in der Mathematik führen viele Wege nach Rom.

Ich lese auch nicht nur ein Buch, um eine Sache richtig zu verstehen...

Ich habe die letzte Zeit sogar etliche Schreibfehler in meinen Ausführungen, komme mit der harten Tastatur meines neuen Laptops nicht zurecht und vermisse die alten Einstellungen meines ehemaligen Pc's.
Auch das Wort "fiel" hatte ich mal mit v geschrieben, weil ich das überhaupt selten benutzte und mein ehemaliger Schreibgenerator auf meinem neuen Laptop (mein neues Laptop) nicht aktiviert ist.
Es klappt irgendwie nicht.

Na ja, so ist das Computerzeitalter halt...

Ausgangspunkt der Frage war aber immer noch die "Logarithmusfunktion, oder?
Steht ja sogar in der Überschrift.

Wünsche Dir eine angenehme Nacht.

Bis dann

LGR

16.12.2009, 23:40

mYthos

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@Rechenschieber:
Ist schon klar, deine Betrachtungsweise ist ja ebenso zielführend und der Fragesteller hat ja auch beide verstanden. In diesem Sinne auch dir eine gute Nacht!
____________________________

Zitat:

Original von tagauch
...
lg(x)² = 1

10^1 = 10 = x probe sagt richtig, danke!

Es gibt noch eine zweite Lösung!

mY+

17.12.2009, 16:30

tagauch

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eine zweite lösung finde ich nicht verwirrt