Vektorzerlegung/Orthogonalität

16.12.2009, 19:01	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorzerlegung/Orthogonalität Guten abend, habe eine Aufgabe zu Vektoren/Vektorprodukt Sei $\begin{eqnarray} \vec{v} = (1,2,-1,3) \end{eqnarray}$ und \vec{w} = (3,0,2,-1). 1) Zerlegen sie den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ in einen Vektor orthogonal zu $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ 2) und einen Vektor in $\begin{eqnarray} L(\vec{v}) \end{eqnarray}$ . zu 1) Hmm da weiß ich auch nicht wirklich weiter, also ein Vektor, man nenne ihn $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ , der orthogonal zu v sein soll, muss ja erfüllen: $\begin{eqnarray} <x\|v>=0 \end{eqnarray}$ , mehr fällt mir aber nicht ein. zu 2) Und das zweite hat etwas mit der lineare Hülle zu tun, das heißt der gesuchte Vektor ist die Lineare Hülle des Vektors? Weiß nicht wirklich weiter, bitte um Tipps. PS: Gibt es das Vektorprodukt eigentlich auch im $\begin{eqnarray} R^4 \end{eqnarray}$ bzw. im $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ ? Danke
16.12.2009, 19:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]12592[/attach] Zu bestimmen sind ein Skalar $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{h} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ \lambda \, \vec{v} + \vec{h} = \vec{w} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ \langle \vec{v} , \vec{h} \rangle = 0 \end{eqnarray}$ Sobald $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bekannt ist, kann $\begin{eqnarray} \vec{h} \end{eqnarray}$ aus der ersten Gleichung berechnet werden. Um aber $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu bestimmen, mußt du nur die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ multiplizieren.
18.12.2009, 15:38	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
und der Vektor $\begin{eqnarray} \lambda \vec{v} \end{eqnarray}$ ist dann praktisch meine lineare Hülle die bei 2) gesucht ist, richtig?
18.12.2009, 16:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \lambda \, \vec{v} \end{eqnarray}$ ist nicht "die" lineare Hülle, sondern ein Element der linearen Hülle von $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ . Die lineare Hülle einer Reihe von Vektoren besteht einfach aus allen Linearkombinationen, die man aus den Vektoren bilden kann. Und wenn nur ein einziger Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ da ist, dann gilt $\begin{eqnarray} L(\vec{v}) = \left\{ \lambda \, \vec{v} \left\| \, \lambda \in \mathbb{R} \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ Jetzt multipliziere die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \langle \vec{v} , \lambda \, \vec{v} + \vec{h} \rangle = \langle \vec{v} , \vec{w} \rangle \end{eqnarray}$ verwende die Bilinearität ("ausmultiplizieren") und löse nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auf.

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