Reihe: sin(kx)/k konvergent

17.12.2009, 12:46

gonnabphd

Reihe: sin(kx)/k konvergent

hi

zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum~\frac{sin(kx)}{k} \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Wie stell ich das am besten an? Erst dachte ich, ich könne es mit etwas wie

$\begin{eqnarray*} \sum~\frac{(-1)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$ abschätzen, aber das geht wohl nicht so wirklich.

Vielleicht mit dem Dirichletsches Kriterium? Wie zeige ich jedoch, dass

$\begin{eqnarray*} ||F_n||_\infty:=||\sum_{k=1}^{n}~sin(kx)||_\infty \end{eqnarray*}$ beschränkt ist?

( $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_\infty \end{eqnarray*}$ Supremumsnorm)

17.12.2009, 23:22

Rmn

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RE: Reihe: sin(kx)/k konvergent
Mom, falsch gelesen.

17.12.2009, 23:43

Rmn

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RE: Reihe: sin(kx)/k konvergent
Das ist das imaginäre Teil der komplexen Exp. Reihe.

18.12.2009, 11:25

gonnabphd

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Zitat:

Original von Rmn
Das ist das imaginäre Teil der komplexen Exp. Reihe.

Könntest du's mal hinschreiben?

18.12.2009, 12:25

Rmn

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Schau dir doch Fourierreihe an, da fällt was raus, für ungerade Funktionen.

18.12.2009, 12:38

gonnabphd

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Sorry, kenne noch keine Fourierreihen. Bisher sind Potenzreihen so das beste, was ich zu bieten habe...

Möglicherweise hilft folgende Gleichung?

$\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)=\frac{sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})}{2sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Werde wohl dieses Wochenende nicht mehr dazu kommen, weiter darüber nachzudenken. Also kein Problem, wenn du nicht weiter darauf eingehst. (Ausser natürlich es interessiert dich ohnehin oder du siehst die Antwort gerade). Benutze das Forum also frühestens am MO wieder (aktiv).

18.12.2009, 20:55

Abakus

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Zitat:

Original von gonnabphd
Möglicherweise hilft folgende Gleichung?

$\begin{eqnarray*} sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)=\frac{sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})}{2sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Hallo!

Ja, die hilft. Der Beweis geht auch mit der Moivre-Formel und geometrischen Reihe (Real- und Imaginärteil noch trennen dann).

Grüße Abakus smile

19.12.2009, 03:02

gonnabphd

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konnte es doch nicht sein lassen =).

zu zeigen:
Sei
$\begin{eqnarray*} F_n(x):= sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)=\frac{sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})}{2sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ist beschränkt.

Da Fn(x) periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist, genügt es zu zeigen, dass Fn auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I:=[-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Deshalb betrachten wir $\begin{eqnarray*} F_n(\pm \pi)=\lim_{x \to \pm \pi} \frac{sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})}{2sin(\frac{x}{2})}=0 \end{eqnarray*}$

da Fn(x) stetig und ungleich der Nullfunktion ist, muss es also mindestens ein Maximum oder ein Minimum x0 in I geben, mit Fn'(x0)=0.

$\begin{eqnarray*} F_n'(x)=\frac{(cos(\frac{nx}{2})\cdot \frac{n}{2} \cdot sin(\frac{(n+1)x}{2}+cos(\frac{(n+1)x}{2})\cdot \frac{n+1}{2} \cdot sin(\frac{nx}{2}))\cdot 2sin(\frac{x}{2})-sin(\frac{nx}{2})sin(\frac{(n+1)x}{2})cos(\frac{x}{2})}{4sin^2(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich aber vor dem Problem das Maximum oder Minimum auch zu finden...

:/ bisschen spät dafür. Ist der Ansatz gut oder gibt es einen einfacheren, den ich übersehen habe?

19.12.2009, 05:50

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Du kämpfst an der falschen Front:

Es ist keineswegs nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} x\to F_n(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist - nein, es geht um die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} n\to F_n(x) \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} x\neq k\pi \end{eqnarray*}$ (für die anderen $\begin{eqnarray*} x =k\pi \end{eqnarray*}$ ist ja eh alles klar).

Und letzteres folgt ja leicht, indem man den Zähler betragsmäßig durch 1 nach oben abschätzt, d.h., es ist dann

$\begin{eqnarray*} \left| F_n(x) \right| \leq \frac{1}{2 \left| \sin\left( \frac{x}{2} \right) \right|} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

19.12.2009, 15:08

gonnabphd

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ja, natürlich! nun ist alles klar.

Danke schön

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