Isomorphismus (die 100ste)

17.12.2009, 12:54	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus (die 100ste) Es sei f: Vn -->Vn eine injektive lineare Abbildung. Beweisen Sie, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist... Hm... also ok... linearität und injektivität ist ja bereits vorrausgesetzt... bleibt ja noch die Surjektivität, um zu zeigen, dass es sich um einen Isomorphismus handelt... Ich finde, mal wieder, keinen Ansatz... da wir in der letzten Vorlesung den Dimensionssatz angesprochen haben, könnte ich mir vorstellen, dass ich diesen als "Handwerkszeug" brauche... aber wie fange ich an???? Hat jemand einen wertvollen Tip? Muss das morgen schon abgeben....:-(
17.12.2009, 12:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) Kannst du noch verraten, was Vn ist?
17.12.2009, 13:06	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) hm... keine besonderen angaben... also ein n-dimensionaler Vektorraum
17.12.2009, 13:16	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) OK. Wie ist denn die Dimension des Kernes von f, wenn f injektiv ist?
17.12.2009, 17:46	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) Kernf = 0 .... oder nicht?!?
17.12.2009, 18:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) Also ist die Dimension des Kerns? Und dann gibt es noch eine schöne Gleichung, wo die Dimension des Urbild-Vektorraums, die Dimension des Kerns und die Dimension des Bildraums in Beziehung stehen.
Anzeige

17.12.2009, 18:49	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) ok... hm... ist die gemeinte formel die folgende : dimk V = dimk(kernf) + dimk (f(V)) ??? da der Kernf nur aus der null besteht... wäre die dimension 1?
17.12.2009, 19:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) Nein, die Dimension ist Null, da der Kern keine Basis hat.
17.12.2009, 21:26	katastrophenkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus (die 100ste) ok, der prof hatte aber irgendwo aufgeschrieben: sei B die basis von kern f.... hm... gut, wenn die dim = 0 ist... dann muss ja die dim der abbildung = n sein... aber wie beweis ich jetzt, dass f: Vn--> Vn ein isomorphismus ist???
18.12.2009, 01:44	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liest du es ja noch: Du bist doch schon so gut wie fertig. f ist injektiv. Du hast: $\begin{eqnarray} \dim_K(V_n) = \dim_K(\ker(f))+ \dim_K(\operatorname{Bild}(f)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \dim_K(V_n)= \dim_K(\operatorname{Bild}(f)) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \operatorname{Bild}(f) \end{eqnarray}$ ist ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ (nach Definition des Bildes), also insbesondere ein Vektorraum. Was folgt?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »