Integrieren von Brüchen

17.12.2009, 19:24

Rumpfi

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Integrieren von Brüchen

Habe ein ernstes Problem, wo die Rechenregel $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ nicht anwendbar ist:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^3 - 1} \, dx \end{eqnarray*}$

Gibt es für dieses Integral eine Rechenregel?

mfg Rumpfi

17.12.2009, 19:28

klarsoweit

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RE: Integrieren von Brüchen
Ja. Erstmal Polynomdivision mit Rest machen, so daß der Zählergrad kleiner als der Nennergrad wird. Dann muß man sehen, ob die genannte Rechenregel doch noch paßt. Ansonsten Partialbruchzerlegung machen.

17.12.2009, 19:28

bernd

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RE: Integrieren von Brüchen
Erst Polynomdivision, solange bis der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Danach Partialbruchzerlegung.

17.12.2009, 19:46

Rumpfi

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Also rechne ichs zuerst so aus:

$\begin{eqnarray*} (x^4 + x^2 + 1) : (x^3 - 1)= x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Rest=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

Bei der Partialbruchzerlegung steh ich wieder an. Muss ich da die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3 - 1 \end{eqnarray*}$ berechnen?

$\begin{eqnarray*} (x^3 - 1) : (x - 1) = x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nicht mehr.

17.12.2009, 20:00

AD

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Du weißt also nicht, wie es mit

$\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$

weitergeht??? Dann rate ich dir mal, kräftig die Augen zu reiben.

17.12.2009, 20:18

Rumpfi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du weißt also nicht, wie es mit

$\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$

weitergeht??? Dann rate ich dir mal, kräftig die Augen zu reiben.

Du hast hier nichts anderes geschriebn als $\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{x^3-1} \end{eqnarray*}$

Im Internet steht, dass man es so anschließend anschreibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-\frac{-1 + i \sqrt{3} }{2}} + \frac{C}{x-\frac{-1 - i \sqrt{3} }{2}} \end{eqnarray*}$

Aber daraus kann ich auch keinen überblick finden. Höchstens bei A.

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17.12.2009, 20:30

AD

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Oh Mann ... was hältst du von Kürzen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.12.2009, 20:40

Rumpfi

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mom, darf ich das so kurz einmal zusammenfassen (im Programmierstiel mit Variablen).

$\begin{eqnarray*} A = (x^4+x^2+1)/(x^3-1) = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = (x^4+x^2+1)mod(x^3-1) = x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = (x^3-1) = (x-1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ergebnis=A+\frac{B}{C} \end{eqnarray*}$

Hab ich die Partialbruchzerlegung so richtig verstanden?

17.12.2009, 20:41

AD

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Ich rede eigentlich von $\begin{eqnarray*} \frac{x^2+x+1}{x^2+x+1} = 1 \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = x + \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Was steht gleich in deinem Infotext:

"Warum das Leben einfach leben, wenns kompliziert auch geht."

Du scheinst diesem Motto blind zu folgen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.12.2009, 20:47

Rumpfi

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Zum Motto: Das hat mir mein Hauptschullehrer (1. Leistungsgruppe) beigebracht. "Warum einfach, wenns kompliziert auch geht"

Zur Rechnung: Diese Methode (mit A/(x-1) + B/((-1+i*sqrt(3))/2 ....) war die Methode, die mein Analysis Professor gestern gezeigt hat. Sie hat uns mehr als 30 min an Zeit gekostet (LV dauerte nur 45 min an dem Tag).

Wieso hat ers so kompliziert gezeigt, wo es doch so einfach geht.

PS: Ich habe die Kürzung schon gesehen, aber mir war das fast zu leicht um wahr zu sein.

17.12.2009, 20:49

AD

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Zitat:

Original von Rumpfi
PS: Ich habe die Kürzung schon gesehen, aber mir war das fast zu leicht um wahr zu sein.

Jetzt bin ich erst recht entsetzt: Sehenden Auges ins Verderben rennen, das muss doch nicht sein. unglücklich

unglücklich

17.12.2009, 21:03

Rumpfi

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Rumpfi
PS: Ich habe die Kürzung schon gesehen, aber mir war das fast zu leicht um wahr zu sein.

Jetzt bin ich erst recht entsetzt: Sehenden Auges ins Verderben rennen, das muss doch nicht sein. unglücklich

unglücklich

Wie mans nimmt. Ich geb es sehr ungern zu, da Mathe mein bestes Fach bei der Matura war (91% ohne Formelsammlung, aber mit NV-Tabelle). Aber seit ich an der Uni bin, hab ich mein mathematisches Verständnis verloren. Es wurde gegen die Programmierung ausgetauscht.

Zurück zum Beispiel: Ich muss einfach Das Ergebnis von der Polynomsdivision hernehmen, und dieses mit (Rest durch Nenner) addieren.

Wenn das alles zur Partialzerlegung ist, sag ich danke.

18.12.2009, 08:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rumpfi
Zurück zum Beispiel: Ich muss einfach Das Ergebnis von der Polynomsdivision hernehmen, und dieses mit (Rest durch Nenner) addieren.

Ähh, was möchtest du?

01.01.2010, 23:51

Corny

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Wie Arthur Dent schon gesagt hat, ist das Ergebnis deiner Polynomdivision

$\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{x^{3}-1 } \end{eqnarray*}$

Durch Umschreiben des Nenners erhälst

$\begin{eqnarray*} x + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$

Und durch Kürzen bekommst du dann

$\begin{eqnarray*} x + \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Anschließend kannst du den zweiten Teil mit deiner am Anfang genannten Formel integrieren

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

25.01.2010, 14:23

Jojo2000

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Hallo!

Wann darf man denn die Formel
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ benutzen?

25.01.2010, 14:34

klarsoweit

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Wenn eben im Zähler die Ableitung vom Nenner steht. smile

smile

25.01.2010, 14:36

Jojo2000

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Naja das ist der Ausdruck, den ich eben geschrieben habe. Aber wie sieht die ganze Formel aus?

25.01.2010, 14:40

Corny

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx =ln| f(x)| +C \end{eqnarray*}$

25.01.2010, 14:46

Jojo2000

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Danke :-)

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