stetigkeit

17.12.2009, 19:40

rza

stetigkeit

hey leute ich habe ein kleines problem und zwar habe ich zwei funktionen

$\begin{eqnarray*} f,g: D \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ welche stetig auf D sind gegeben

naja und nun soll ich bestimmen ob die funktion $\begin{eqnarray*} \gamma = max(f(x),g(x)) \end{eqnarray*}$

stetig ist ... also ich hab mir überlegt es kann ja nur an einem punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

eine der drei situationen auftreten und zwar

$\begin{eqnarray*} f(x_0)>g(x_0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x_0)>f(x_0) \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$

naja für die ersten zwei situationen ist es recht trivial wieso es stetig ist also bleibt nur die stetigkeit in dem/den punkt(en) $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ zu überprüfen

also es folgt ,

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0)-g(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} (f(x) -g(x))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) -\lim_{x \to x_0} g(x) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) =\lim_{x \to x_0} g(x) \end{eqnarray*}$

naja und somit is die funktion $\begin{eqnarray*} \gamma = max(f(x),g(x)) \end{eqnarray*}$
stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

stimmt mein beweis so oder liege ich vollkommen falsch

danke für die hilfe

17.12.2009, 20:27

Dual Space

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RE: stetigkeit

Zitat:

Original von rza
$\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$

[...]

also es folgt ,

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0)-g(x_0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} (f(x) -g(x))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) -\lim_{x \to x_0} g(x) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) =\lim_{x \to x_0} g(x) \end{eqnarray*}$

naja und somit is die funktion $\begin{eqnarray*} \gamma = max(f(x),g(x)) \end{eqnarray*}$
stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

Deine Idee ist richtig, aber obige Rechnung beweist nicht, dass $\begin{eqnarray*} \gamma(x) \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist.

17.12.2009, 20:31

rza

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hmm wie könnte man das sonst beweisen mir fällt echt nix anderes ein ? oder vielleicht einen tiopp

17.12.2009, 20:49

system-agent

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Ein Beweis nutzt zb die Definition der Stetigkeit:
Epsilon und Delta sowie die Folgen die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergieren grüssen dich Augenzwinkern

17.12.2009, 20:55

rza

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pok danke

17.12.2009, 22:50

rza

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ok also ich glaub ich habs jetzt also wenn man dann

schreibt
$\begin{eqnarray*} |g(x)-f(x)-g(x_0)+f(x_0)| =|g(x)-g(x_0)|+|-f(x)+f(x_0)| <\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} =\epsilon \end{eqnarray*}$

bekommt man heiraus unter den gegevbenen voraussetzungen für delta etc

dass g(x)-f(x) stetig in x_0 ist .... stimmt das jetzt ??

17.12.2009, 23:18

Eierkopf

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Zitat:

Original von rza

$\begin{eqnarray*} |g(x)-f(x)-g(x_0)+f(x_0)| =|g(x)-g(x_0)|+|-f(x)+f(x_0)| <\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} =\epsilon \end{eqnarray*}$

Hier stimmt etwas nicht, beachte die Dreiecksungleichung! - Ansonsten ein Weg!

17.12.2009, 23:41

rza

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ja wollte kleiner gleich schreiben unglücklich