Binomialverteilung - Aufgabe

17.12.2009, 19:50

Freeman

Binomialverteilung - Aufgabe

Servus Jungs,

ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch und ist wohl dem Accordlernen geschuldet. Ich will einfach nicht auf den Rechenweg kommen.

Die Aufgabe lautet:

Jemand will einen Sessel neu beziehen. Dazu benötigt er 15 Polsternägel. Erfahrungsgemäß werden 20% der Nägel beim Einklopfen verbogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit genügt eine Packung mit 20 Nägeln?

n = 20 ?
p = 0,2 ?
µ = 4 ?

Muss ich nicht irgendwie k herausbekommen, um in einer Tabelle die Wahrscheinlichkeit ablesen zu können bzw. zu errechnen?

Ich danke euch vielmals, um mir auf die Sprünge zu helfen.
MfG, Freeman

17.12.2009, 20:51

Iorek

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Was willst du denn mit diesem "k" ausdrücken, also wofür soll das stehen?

17.12.2009, 21:05

Freeman

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Formel für die Binomialwahrscheinlichkeit:

P(X=k) = (n nCr k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

Bsp:
P(X=5) = (20 nCr 5) * 0,2^5 * 0,8^(20-5) ???

17.12.2009, 21:09

Iorek

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Ja, wofür stehen jetzt die verschiedenen Variablen?

p ist die...
n ist die...
k ist die...

17.12.2009, 21:13

Freeman

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p = Wahrscheinlichkeit
n = Anzahl der Nägel
µ = Erwartungswert
k = Anzahl der kaputten Nägel ???

17.12.2009, 21:25

Iorek

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Mit dem k bezeichnest du dir dein gewünschtes Ereignis. Du willst genug Nägel reinschlagen damit die Polster halten, was ist also die erwünschte Anzahl von Nägeln?

17.12.2009, 21:37

Freeman

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k = 15

P(X=15) = (20 nCr 15) * 0,2^15 * 0,8^(20-15) = 0,000000166

Aber die Zahl ergibt meiner Meinung nach überhaupt keinen Sinn.

Also, ich möchte herausfinden, ob eine 20-Nägel-Packung reicht. Für meinen Job brauch ich 15 Nägel und 0,2 von 20 Nägeln gehen dabei kaputt.

20 - (20 * 0,2) = 16
16 >= 15 // also dürfte es reichen

Aber das ergibt doch auch keinen Sinn, oder?!

17.12.2009, 21:44

Freeman

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Quark.

Kann das sein, dass ich einfach in einer kommulierten Tabelle bei n=20, k=5 und p=0,2 nachschauen muss? Dafür wäre die Wahrscheinlichkeit 0,8042 und klingt mir sehr realistisch?

PS: Sry für Doppel-Post

31.12.2009, 00:13

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Zitat:

k = 15

P(X=15) = (20 nCr 15) * 0,2^15 * 0,8^(20-15) = 0,000000166

Aber die Zahl ergibt meiner Meinung nach überhaupt keinen Sinn.

Um mit k=15 zu rechnen, musst du p so setzen, dass es die Günstigen, also in diesem Fall die nicht umknickenden Nägel bezeichnet. Du fragst somit nach der Wahrscheinlichkeit, dass k Nägel nicht umknicken.
Außerdem gilt für deine Rechnung ein anderes X, nämlich X größer gleich 15.

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 15) = \sum\limits_{k=15}^{k=20} P(X=k)= \sum\limits_{k=15}^{k=20} {\begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix} * 0,8^{k} * 0,2^{20-k}} = 0,8042 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

Bleibt man bei der Wahrscheinlichkeit p=0,2, so lautet die Rechnung folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 5) = \sum\limits_{k=0}^{k=5} P(X=k) = \sum\limits_{k=0}^{k=5} {\begin{pmatrix} 20 \\ k \end{pmatrix} * 0,2^{k} * 0,8^{20-k}} \end{eqnarray*}$ (nicht nachgerechnet, müsste aber ein sehr ähnliches Ergebnis hervorbringen)

Die 20% Ausschuss sind reine Erfahrungswerte (=Mittelwerte) anderer Packungen. Es ist somit nicht ausgeschlossen, dass du Pech hast und dir alle 20 Nägel einer Packung beim Einschlagen umknicken, wenn es auch sehr unwahrscheinlich ist.
Der Erwartungswert für die Anzahl des Ausschusses sind 4 (=µ) aus 20 Nägeln. Die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ (kleines Sigma) gibt uns an, dass eine Abweichung vom Erwartungswert von bis zu 1,7889 Nägeln im Mittel nicht unwahrscheinlich, sondern sogar zu erwarten ist ( $\begin{eqnarray*} \sigma=n*p*(1-p) \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

20 - (20 * 0,2) = 16
16 >= 15 // also dürfte es reichen

Aber das ergibt doch auch keinen Sinn, oder?!

Doch, tut es, wenn es auch nicht die Lösung der Aufgabe ist ;-)

Wenn du von der Durchschnittspackung ausgehst, in der genau µ=4 Nägel umknicken, liegst du goldrichtig: Da 16 Nägel einwandfrei eingeschlagen werden können, würde der Inhalt einer Packung für den Sessel reichen - aber nur, wenn es eine Durchschnittspackung ist!

Dein Fehler bei diesem Teil der Rechnung besteht also hauptsächlich in der falschen Annahme, dass der Ausschuss immer 20% pro Packung ist.

ich hoffe, ich konnte mit diesem riesigen Textblock ein wenig helfen,
Gruß OS

PS: Wenn du mal nach dem 3. Satz der Aufgabe (also der eigentlichen Frage) googelst, findest du mehr Hilfe dazu...

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