Verteilung von Z:=aX+bY für a,b reell und fest

18.12.2009, 00:10	Marie89	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung von Z:=aX+bY für a,b reell und fest Hallo, wahrscheinlich stehe ich gerade total auf dem Schlauch, aber ich habe in einer Aufgabe eine gemeinsame Dichte von (X, Y) gegeben durch $\begin{eqnarray} f\left(x,y\right)=xyc \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} 1\leq x\leq y\leq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\left(x,y\right)=0 \end{eqnarray}$ sonst. Zuerst sollte ich c bestimmen, das habe ich mit getan, indem ich $\begin{eqnarray} \int_1^2 \int_x^2 \! f(x,y) \, dx \, dy =1 \end{eqnarray}$ gesetzt habe und erhalte $\begin{eqnarray} c= \frac{8}{9} \end{eqnarray}$ Nach Ermittlung der Randdichten habe ich festgestellt, dass X und Y nicht unabhängig sind. Jetzt soll ich die Verteilung von Z:=aX+bY für a,b fest gewählte reelle Konstanten bestimmen. Meine Idee war, die gemeinsame Dichte von aX und bY zu bestimmen und mit ihr dann Z, aber ich habe leider keine Ahnung wie ich diese gemeinsame Dichte bestimmen soll und ob das überhaupt ein sinnvoller Ansatz ist. Hat vielleicht jemand von euch eine Idee? Tut mir echt leid, wahrscheinlich ist die Frage total blöd... Trotzdem vielen Dank im Voraus!
18.12.2009, 08:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Solltest du den Transformationssatz kennen, dann kannst du den direkt auf z.B. $\begin{eqnarray} (U,V) = T(X,Y) = (X,aX+bY) \end{eqnarray}$ anwenden, womit du die gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray} f_{U,V} \end{eqnarray}$ ermittelst. Anschließend bestimmst du dann die eigentlich gesuchte Randverteilungsdichte $\begin{eqnarray} f_V(v) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ f_{U,V}(u,v) ~ \dd u \end{eqnarray}$ . Solltest du den nicht kennen, dann kannst du auch deinen vorgeschlagenen Weg über $\begin{eqnarray} aX,bY \end{eqnarray}$ nehmen, musst dazu zunächst $\begin{eqnarray} f_{aX,bY}(x,y) = \frac{1}{\|ab\|}\cdot f_{X,Y}\left( \frac{x}{a},\frac{y}{b} \right) \end{eqnarray}$ nachweisen (z.B. über die zugehörigen Verteilungsfunktionen + Kettenregel), um anschließend die Dichte von $\begin{eqnarray} aX+bY \end{eqnarray}$ über ein einfaches Faltungsintegral zu berechnen. Wie auch immer - beide Wege funktionieren.
18.12.2009, 09:31	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Um gleich die Antwort "Transformationssatz kenne ich nicht" zu verhindern: Das ist Satz 4.8 in unserem Skript

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