Ungleichung beweisen

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Raudi Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung beweisen
Hallo!
Wir sitzen an einem Problem zum Thema Ungleichungen und wissen nicht, wie wir weiter vorgehen sollen.

Gegegebn ist folgende Ungleichung, wobei für die natürlichen Zahlen gilt

Wir sind schon zu dem Schluss gekommen, dass kein Summand auf der linken Seite größer als 1/2 werden kann, da die kleinste mögliche Differenz unter der Wurzel 1 ist und die dazugehörige Zahl im Nenner 2, somit 1/2 ist. Somit gilt die Ungleichung also wirklich immer.

Wir haben jetzt noch einige spezielle Ungleichungen (Cauchy, Hölder, Minkowski, Jensen) und sind uns nicht sicher, ob eine davon angewendet werden muss oder eventuell ein anderes Verfahren notwendig ist.

Es wäre toll, wenn jemand einen Ansatz für uns hätte, um die Aufgabe weiter zu bearbeiten.
Danke schonmal fürs Überlegen! smile
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Steht rechts des Ungleichheitszeichens wirklich ?

Ich würde vollständige Induktion nach n versuchen.
 
 
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Danke erstmal für die Antwort!

Ja, rechts des Ungleichzeichens steht wirklich dein genannter Ausdruck.
Stutzt du wegen des n²?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

natürliche zahlen inkl. oder exkl. 0? wenn die 0 dabei ist, dann kann der erste summand 1 werden für a1 = 0, a2 = 1. (nur als info, falls du das argument "alle summanden kleiner als 1/2" benutzen willst)
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Nein, ich wollte mich nur absichern, dass also links n-1 Brüche stehen und rechts deren n^2.
Die Induktionsverankerung mit n=2 hätte links einen und rechts 4 Brüche (und stimmt).
Der Induktionsschritt nähme links einen Bruch dazu und rechts deren 2n+1 (nämlich (n+1)^2 - n^2).
Ich empfehle, diesen Schritt nachzurechnen (ich bin noch nicht dazugekommen).
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

"Der Induktionsschritt nähme links einen Bruch dazu und rechts deren 2n+1 (nämlich (n+1)^2 - n^2)."

also wir verstehen warum du auf (n+1)² kommst (weil das ja der nachfolger von n² ist), jedoch nicht, wie du auf -n² kommst.
und wir sprechen doch beide davon, dass (n+1)²-n² der nenner des bruches ist, oder?


@ merlinius
wir sind jetzt davon ausgegangen ohne 0, haben deinen Schritt jedoch auch schon bedacht.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Er meint damit folgendes:

Induktionsvoraussetzung:

linke Seite - n Summanden = rechte Seite n² Summanden

Induktionsschritt:

linke Seite - n+1 Summanden = rechte Seite (n+1)² Summanden

Also ist links ein Summand dazugekommen und rechts sind 2n+1 dazugekommen. (und 2n +1 = (n+1)² - n²)

Wenn du jetzt zeigen könntest, dass der zusätzliche Summand links kleiner ist als die zusätzlichen 2n+1 Summanden rechts, wäre der Induktionsschluss vollbracht. Aber k.a., wie und ob das hier so einfach geht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Und ich stutze schon beim ersten Satz.

Zitat:
Original von Raudi
Gegegebn ist folgende Ungleichung


Denn mir liegt es auf der Zunge zu fragen: Und was ist gesucht? Was ist die Aufgabe?
Oder ist doch gemeint, wie es die anderen aufgefaßt haben: Zu beweisen ist die folgende Ungleichung.

Mathematik ist die Wissenschaft der Genauigkeit, das gilt auch für die Metasprache.

Sprache ist oft verräterisch. Sie zeigt gerade in der Mathematik Unsorgfältigkeit, Oberflächlichkeit und Trägheit des Denkens sofort und unmittelbar. Gnadenlos.
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Leopold, du hast natürlich recht.
Unsere Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die obige Ungleichung für die natürlichen Zahlen gilt.
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das nun als Ungleichung verfasst.



und sind zu dem Ergebnis gekommen, dass die linke Seite kleiner als 1/3 sein muss, wenn wir für n 2 einsetzen.
bringt uns das irgendwie weiter?

oder die Ungleichung überhaupt? wie könnten wir nun weiterverfahren? Sie ähnelt ja in gewisser Weise wieder der Ausgangsgleichung. ist eine weitere Induktion durchzuführen oder bekommt man das auch durch einfachere Umformungen hin?

oh man...und sowas aufn Freitagabend... :\
smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, diese Art Induktion führt nicht zum Ziel:


Offenbar ist für alle , mehr weiß man im Induktionsschritt auch nicht über . Allgemein ist daher

,

im ungünstigsten Fall hat man hier dann auch die Gleichheit. Dummerweise ist nun aber das Maximum der zu betrachtenden Funktion



NICHT kleiner als , was die Hoffnung auf einen derartigen Induktionsschritt so ziemlich zunichte macht. Es ist nämlich



und somit

,

was für große n gewiss größer ist als

.


Da musst du dir wohl einen anderen Weg suchen.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ein. Sorry! Habe ja nichts versprochen ...
Die Sache muss offenbar subtiler abgeschätzt werden. Habe leider keine Zeit.
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

Schade...
Wir werden dann heute unser Glück weiter versuchen.
Wenn noch jemand einen Einfall hat, immer her damit! Augenzwinkern
Danke!
Hahans Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine vage Idee:
schon mal versucht Zusammenhänge der Gammafkt. (rechte Seite) einfließen zu lassen
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat vielleicht jetzt noch einer eine Idee? :\
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, also im ersten Schritt

,

um die Wurzeln loszuwerden. Ist vermutlich aber auch schon zu grob in Hinblick auf die rechte Seite - hab ich jetzt auch nicht weiter verfolgt. verwirrt
Hahans Auf diesen Beitrag antworten »

In welchem Zusammenhang seid ihr auf das Problem gestoßen?
Raudi Auf diesen Beitrag antworten »

Wir müssen zu dem Thema "Ungleichungen" drei Probleme lösen, eins davon ist dieses.
Hahans Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das ein Aufgabenblatt für ein Matheseminar?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Zitat:
Original von Raudi
Hallo!
Wir sitzen an einem Problem zum Thema Ungleichungen und wissen nicht, wie wir weiter vorgehen sollen.

Gegegebn ist folgende Ungleichung, wobei für die natürlichen Zahlen gilt

Wir sind schon zu dem Schluss gekommen, dass kein Summand auf der linken Seite größer als 1/2 werden kann, da die kleinste mögliche Differenz unter der Wurzel 1 ist und die dazugehörige Zahl im Nenner 2, somit 1/2 ist. Somit gilt die Ungleichung also wirklich immer.

Wir haben jetzt noch einige spezielle Ungleichungen (Cauchy, Hölder, Minkowski, Jensen) und sind uns nicht sicher, ob eine davon angewendet werden muss oder eventuell ein anderes Verfahren notwendig ist.

Es wäre toll, wenn jemand einen Ansatz für uns hätte, um die Aufgabe weiter zu bearbeiten.
Danke schonmal fürs Überlegen! smile


Wegen



gilt sogar:

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste

Dummerweise stimmt das z.B. für



nicht. Du solltest deine Argumentationskette mal überprüfen - so einfach, wie du dir das denkst, ist es nämlich nicht. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die erste von Kühlkiste's Ungleichungen ist unter den gegebenen Bedignungen genau für richtig, und selbst wenn sie richtig wäre, ist nicht zu sehen, warum die zweite dann daraus folgen sollte...
Volent Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns wurden Ungleichungen und Reihen zwar nie wirklich behandelt, aber ich versuch` mich trotzdem mal. Nicht hauen! Mit Zunge Sei beliebig, dann wird der Summand für maximal, d.h. damit die linke Seite der Ungleichung ihr Maximum erreicht. Umformung ergibt Daraus folgt und es gilt lediglich nur noch zu zeigen, dass gilt. Oder? verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Volent

Es ist dies sicher eine sehr interessante Idee, nur seh ich da 2 Problempunkte:

1. Für (wobei nicht ganz klar ist, ob dieser Fall hier überhaupt zugelassen ist) stimmen deine Abschätzungen nicht, denn es ist bereits



2. Was die Ungleichung



betrifft, sehe ich jetzt nicht unmittelbar, warum man für die 2.Reihe unbedingt bis summieren muss und nicht z.B. nur bis n...Immerhin ist



wie man mit Hilfe von vollständiger Induktion leicht zeigt... Ich kann mir aber nur schwer vorstellen, dass man die Behauptung in dieser Weise verschärfen kann, ohne dass dies dem Aufgabensteller bewußt war...
Hahans Auf diesen Beitrag antworten »

Rechte Seite könnte irgendwie eine Potentialaufsummierung sein (da n^2).
Linke Seite erinnert mich ein bißchen an ähnliche Sachverhalte aus der Quantenmechanik (Zeta-Fkt.). Handelt es sich um ein Problem aus der Festkörperphysik?
Volent Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic Den Fall haben die Aufgabensteller ja selbst ausgeschlossen (1. Post) und die Summierung bis habe ich lediglich aus dem 1. Thread übernommen. Meine Idee war eigtl. nur, eine von unabhängige Ungleichung zu schaffen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Volent
@Mystic Den Fall haben die Aufgabensteller ja selbst ausgeschlossen (1. Post) und die Summierung bis habe ich lediglich aus dem 1. Thread übernommen.


Bitte zu beachten, dass der Aufgabensteller und der Threadersteller offensichtlich nicht ident sind, was die Zulässigkeit von betrifft, kann man also weiterhin nur "raten" oder so wie der Threadersteller irgendeine Annahme treffen... Wenn man allerdings heutzutage von natürlichen Zahlen spricht, so ist die 0 üblicherweise dabei, außer man schließt sie expressis verbis aus...

Zitat:
Original von Volent Meine Idee war eigtl. nur, eine von unabhängige Ungleichung zu schaffen.


Ja, ich anerkenne das ja auch, aber du bist anscheinend einem Trugschluss aufgesessen, den ich allerdings beim ersten Durchlesen auch übersehen habe... Dein "Greedy Algorithmus" führt i.allg. nicht zu einem Maximum, was die linke Seite der Gleichung betrifft, denn z.B.



führt schon für n=5 zu dem höheren Wert als deine Folge (1.283.. vs. 1.280...)... Schade, denn deine Idee hat zunächst echt gut ausgesehen... unglücklich
Volent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ging leider nach hinten los. Hammer Macht es bei Ungleichungen überhaupt Sinn nach Minima und Maxima Ausschau zu halten?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Volent
Ja, das ging leider nach hinten los. Hammer Macht es bei Ungleichungen überhaupt Sinn nach Minima und Maxima Ausschau zu halten?


Ja natürlich, wenn man sehen könnte, für welche Klasse von Folgen die linke Seite der zu beweisenden Ungleichung das Maximum annimmt, könnte man sich, genau wie du in deinem obigem Beweisversuch, von vornherein auf diese beschränken... Ich seh da aber keine einfache Gesetzmäßigkeit...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Vielleicht mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, also im ersten Schritt

,

um die Wurzeln loszuwerden. Ist vermutlich aber auch schon zu grob in Hinblick auf die rechte Seite - hab ich jetzt auch nicht weiter verfolgt. verwirrt


Ja, das scheint mir ein sehr vielversprechender Ansatz zu sein... Freude

Da ja offensichtlich gilt



müsste man also nur noch zeigen, dass auch



richtig ist, wenn man sich auf Folgen beschränkt, für welche die linke Seite der ursprünglichen Ungleichung "große" Werte annimmt, die also insbesondere nicht zu stark wachsen...Wie man gerade diese Folgen besser charakterisieren kann, das scheint mir die eigentliche Schwierigkeit bei der Aufgabe zu sein...
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Kühlkiste

Dummerweise stimmt das z.B. für



nicht. Du solltest deine Argumentationskette mal überprüfen - so einfach, wie du dir das denkst, ist es nämlich nicht. Augenzwinkern



Jo, richtig wäre gewesen (falls es überhaupt noch von Interesse ist...):



Damit folgt immerhin:

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Jo, richtig wäre gewesen (falls es überhaupt noch von Interesse ist...):




Auch das ist klar falsch. Richtig ist, dass für eine Folge , für welche die linke Seite der Ungleichung für dieses n ein Maximum annimmt, stets gilt (n>2), d.h., man muss in deiner Ungleichung 2 durch die kleinere Zahl ersetzen.
Zitat:
Original von Kühlkiste
Damit folgt immerhin:



Selbst wenn man darin 2 durch ersetzt, ist diese Ungleichung wertlos, da ja die rechte Seite so stark wächst , während die rechte Seite der zu beweisenden Ungleichung so stark wächst wie , also viel, viel schwächer...
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Kühlkiste
Jo, richtig wäre gewesen (falls es überhaupt noch von Interesse ist...):


Auch das ist klar falsch.


Ja ja, behaupten kann man alles.
Aber wenn das wirklich so klar falsch ist, dann wird es Dir ja ein Leichtes sein dies mit einem entsprechenden Gegenbeispiel zu belegen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Ja ja, behaupten kann man alles.
Aber wenn das wirklich so klar falsch ist, dann wird es Dir ja ein Leichtes sein dies mit einem entsprechenden Gegenbeispiel zu belegen.


Ok, sorry, in diesem Punkt habe ich dir tatächlich Unrecht getan, da habe ich wohl zu sehr auf meine Fähigkeiten im Kopfrechnen vertraut... unglücklich

Dafür bist du auf das Hauptargument meines Postings, das unabhängig davon ja weiterhin gilt, überhaupt nicht eingegangen...
nnausn Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Versuch mit Fallunterscheidung:

1. Fall:
mit



2. Fall:
mit

Doch für den Beweis des 2. Fall fehlt mir bisher die Idee.
Hat vielleicht jemand einen Ansatz?
Okieh Auf diesen Beitrag antworten »

wenn so kann man jedem Summanden folgende Brüche zuordnen:

Okieh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Okieh
wenn so kann man jedem Summanden folgende Brüche zuordnen:


Die Formel sollte eigentlich noch zu diesem hier werden... habe mich bei der Vorschau verklickt und kann nun nicht editieren... sorry...



zumindest wäre das eine zweite Möglichkeit mit Fallunterscheidungen zu arbeiten:
Fall 1
Fall 2

zuerst dachte ich, ich könnte das mit der anderen Fallunterscheidung kombinieren, aber die Brüche würden dann zum Teil doppelt zugeordenet werden.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Fallunterscheidung macht für mich mehr Sinn...

Edit: Übrigens hat ich mir noch angesehn, welcher Fall der "zutreffende" sein sollte, und zwar in dem Sinne, als er für die Folgen auftritt, welche die linke Seite der Ungleichung zu einem Maximum machen.. Computerexperimente scheinen darauf hinzudeuten, dass dies tatsächlich der Fall 1 sein sollte... Z.B. ergibt sich für n=10 als "maximale" Folge

0,1,2,3,4,5,6,8,12,24 bzw. 1,2,3,4,5,6,8,11,17,34

je nachdem, ob man bei 0 oder 1 beginnt...

Edit2: Und hier noch noch die "maximalen" Folgen für n=20, nämlich

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 26, 33, 66 bzw. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 25, 32, 64

womit mein Programm ohne weitere Modifikationen allerdings dann am Limit angelangt ist... Immerhin, der Trend, dass weit unter bleibt, scheint sich eher noch zu verstärken...
nnausn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
Zeigen Sie, dass für die natürlichen Zahlen
folgende Ungleichung gilt:


Wir haben jetzt eine Fallunterscheidung vorgenommen:

Für alle i mit :



Die Idee für diesen Fall ist entstanden aus der Überlegung

Was für jeden Summanden der Summe links gilt.
Es folgte die weitere Überlegung

Jetzt müsste noch der Fall es existieren einige betrachtet werden.

Laut Tipp soll dies eine ans Ziel führende Fallunterscheidung sein.
Hat jemand Gedanken, die zur Ideenfindung für den Beweis des 2. Fall hilfreich sind?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung beweisen
@nnausn

Meiner Meinung hast du den "Tipp" von deinem Prof. mißverstanden oder er hat es selber nicht mehr richtig gewußt, wie die Aufgabe geht, was ja vorkommen soll... Ich würde jede Wette darauf eingehen, dass in Wahrheit die Fallunterscheidung gemeint war, welche Okieh oben vorschlägt...
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