Häufungspunkt

18.12.2009, 18:19

ankasztaj

Häufungspunkt

Sei x HP von M. Sei $\begin{eqnarray*} \left\{ A_k\right\}_{k=1,...,n} \end{eqnarray*}$ eine endliche Überdeckung $\begin{eqnarray*} M \subseteq \bigcup_{k=1}^n A_k \end{eqnarray*}$ dann gibt es
$\begin{eqnarray*} k* \in \{ 1,...,n \} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ HP von $\begin{eqnarray*} A_{k*} \end{eqnarray*}$

Ich komme mit diesem Themengebiet absolut nicht klar. Weiß auch nicht wie man es zeigen soll.

Ich habe mir folgendes überlegt:

wenn x HP von M, bedeutet das, dass in jeder Umgebung von x unendlich viele Elemente von M liegen

jetzt soll man zeigen dass in der umgebung von x auch unendlich viele Elemente Ak* liegen damit x HP von Ak* ist.

Aber wie zeigt man das? Wie fängt man überhaupt an? Bin für jede Hilfe dankbar

18.12.2009, 18:54

Mazze

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Nehmen wir doch mal an es gäbe kein k so dass x Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ist. Dann gibt es eine Umgebung um x die nur endlich viele Elemente von $\begin{eqnarray*} A_k ~ \forall k \end{eqnarray*}$ enthält. Nun ist aber $\begin{eqnarray*} M \subset \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Widerspruch!

Das muss natürlich ausformuliert werden. Aber ich denke so gehts.

18.12.2009, 19:37

ankasztaj

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Und wieso ist das ein Widerspruch? Das verstehe ich nicht unglücklich

18.12.2009, 22:34

Mazze

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Wenn in der bestimmten Umgebung nur endlich viele Punkte von den $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ sind, dann sind in der Umgebung auch nur endlich viele Punkte aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k}A_k \end{eqnarray*}$ (dies ist der wichtige Schritt den man sauber machen muss). Wegen $\begin{eqnarray*} M \subset \bigcup_{k}A_k \end{eqnarray*}$ sind dann aber auch nur endlich viele Punkte aus M in der Umgebung von x. Das ist ein Widerspruch dazu, dass x Häufungspunkt von M ist.

19.12.2009, 07:17

ankasztaj

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Ich versuche mir immer alles bildlich vorzustellen. Ist das hier auch möglich?

Also, da in der Umgebung von x nur endlich viele Punkte von Ak* sind dann noch unendlich viele außerhalb der Umgebung. Und da Ak* ein Mitglied der Familie {Ak}
betrifft es auch die Vereinigung aller Familienmitglieder.
Kann man auch sagen dass in der Umgebung von x nur endlich viele Punkte aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ weil Ak* Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ oder gibt es da keinen Zusammenhang?

Wäre es möglich dass du mir ein kleines Beispiel gibst für all diese Mengen? Damit ichs mir besser vorstellen kann was da vorgeht?

19.12.2009, 08:57

Mystic

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Mit einem Beispiel wirst da gar nichts ausrichten, denn was für ein Beispiel gilt, muss ja nicht auch für den allgemeinen Fall gelten...

Man könnte höchstens das Argument von Mazze noch dahingehend ergänzen, dass man sagt, wäre die Behauptung falsch, so könnte man für jedes i=1,2,..,n, eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ von x wählen, sodass $\begin{eqnarray*} U_i \cap A_i \end{eqnarray*}$ endlich ist... Der entscheidende Punkt an dem ganzen Beispiel ist nun, dass der Durchschnitt U dieser endlich vielen Umgebungen wieder eine Umgebung von x ist...Hier braucht man also die Eigenschaft, dass es sich um eine endliche Überdeckung handelt, sonst wird der Satz falsch... Mit U argumentiert man dann so, wie von Mazze oben angegeben...

19.12.2009, 10:03

ankasztaj

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Zitat:

Original von ankasztaj

Also, da in der Umgebung von x nur endlich viele Punkte von Ak* sind dann noch unendlich viele außerhalb der Umgebung. Und da Ak* ein Mitglied der Familie {Ak}
betrifft es auch die Vereinigung aller Familienmitglieder.
Kann man auch sagen dass in der Umgebung von x nur endlich viele Punkte aus $\begin{eqnarray*} \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ weil Ak* Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ oder gibt es da keinen Zusammenhang?

Und stimmt das? Sind diese Überlegungen richtig?

Und ich weiß dass ich mit einem Beispiel nichts ausrichten kann. Aber es würde möglicherweise mir helfen die ganze Sache zu verstehen.
Ich glaube nämlich dass es mir einfach zu abstrakt ist unglücklich

19.12.2009, 10:11

ankasztaj

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@ Mystic: deinem Beitrag kann ich gar nicht folgen....

U ist also die Umgebung, und was soll dieses i im Index? Soll das sowas wie normalerweise epsilon sein?

Zitat:

Der entscheidende Punkt an dem ganzen Beispiel ist nun, dass der Durchschnitt U dieser endlich vielen Umgebungen wieder eine Umgebung von x ist...

damit kann ich auch gar nicht anfangen.

tut mir leid aber kannst du mir es doch genauer erklären?

und falls irgendjemand wieder auf die tolle idee kommt dass ich die komplete lösung will.
die will ich nicht! ich will einfach endlich dieses thema verstehen. koste es was es wolle

19.12.2009, 11:22

Mazze

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Eigentlich steht der komplette Beweis schon hier im Thema. Man muss nur noch die Teile zusammensetzen. Ich hab gesagt man muss eine Umgebung finden die für alle $\begin{eqnarray*} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Elemente von $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ enthält. Mystic hat Dir diese Umgebung gegeben. Falls x kein Häufungspunkt der $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ist, so gibt es für alle

$\begin{eqnarray*} i \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ Umgebungen $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} U_i \cap A_i \end{eqnarray*}$ endlich ist. Der Schnitt

$\begin{eqnarray*} U^* = \bigcap_i U_i \end{eqnarray*}$

ist dann ebenfalls eine Umgebung von x. Und dieses U* ist genau die Umgebung die wir suchen. Warum der Durchschnitt eine Umgebung ist? Umgebungen U von x besitzen per Definition eine offene Menge O mit $\begin{eqnarray*} x \in O \subseteq U \end{eqnarray*}$ . Der endliche Schnitt der Umgebungen erhält diese Eigenschaft. Der unendliche Schnitt (sei es abzählbar oder überabzählbar) klappt nicht mehr. Bekanntes Beispiel wäre etwa :

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) = \{0\} \end{eqnarray*}$

Hier werden unendlich viele offene Mengen geschnitten, der Schnitt selber ist aber abgeschlossen.

19.12.2009, 17:23

ankasztaj

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RE: Häufungspunkt
Der Beweis mag hier stehen. Aber wenn ich es nicht verstehe ist es wertlos für mich.

Also wir machen einen "was wäre wenn" Beweis.

Was wäre wenn x nicht Häufungspunkt von Ak* wäre. Dann würde Umgebung von x endlich viele Elemente von Ak* beinhalten. Also $\begin{eqnarray*} U(x) \cap A_{k*} \end{eqnarray*}$ endlich. Soweit verstehe ich alles.

Und folgendes verstehe ich nicht:
1. Warum kann man aus $\begin{eqnarray*} U(x) \cap A_{k*} \end{eqnarray*}$ endlich -> $\begin{eqnarray*} U(x) \cap \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ endlich schließen?
2. Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} M \subseteq \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} U(x) \cap M \end{eqnarray*}$ endlich ?
3. Die Schreibweise für die Umgebung von x verstehe ich nicht so ganz. Also mit diesem Index i. Ist es das gleiche als wenn ich $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \end{eqnarray*}$ schreiben würde? So kenn ich es. Und das heißt ja dann $\begin{eqnarray*} (x - \epsilon , x + \epsilon ) \end{eqnarray*}$ Meint ihr genau dasselbe nur mit i ?

Danke für die Antworten

19.12.2009, 17:39

Mazze

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Zitat:

Also wir machen einen "was wäre wenn" Beweis.

Das nennt sich auch Beweis durch Kontraposition. Man geht vom Gegenteil aus und zeigt dass dieses zu einem Widerspruch führt.

Zitat:

Ist es das gleiche als wenn ich $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \end{eqnarray*}$ schreiben würde?

Nein, überhaupt nicht. Mit $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ ist eine Umgebung von x in $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ gemeint. Sprich $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq A_1, U_2 \subseteq A_2,..., U_n \subseteq A_n \end{eqnarray*}$ usw.. Es ist auch gar nicht nötig die Umgebungen genau zu kennen. Wir brauchen nur die Existenz. Daher reicht ein U_i völlig. Das wichtige ist eine Umgebung von x zu finden die mit allen $\begin{eqnarray*} A_i, i \in \{1,...n,\} \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Elemente gemeinsam hat.

Zitat:

1. Warum kann man aus $\begin{eqnarray*} U(x) \cap A_{k*} \end{eqnarray*}$ endlich -> $\begin{eqnarray*} U(x) \cap \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ endlich schließen?

Diesen Schluss ziehen wir gar nicht. Wir schliessen folgendes, setze dazu

$\begin{eqnarray*} U^* = \bigcap_i U_i(x) \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} U^* \cap \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ endlich. Warum das so ist? Das ist elementare Mengenleere. Die Umgebung $\begin{eqnarray*} U^* \end{eqnarray*}$ ist in jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ enthalten, es gilt also $\begin{eqnarray*} U^* \subset U_i ~ \forall i \end{eqnarray*}$ . Für jede Umgebung $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} U_i \cap A_i \end{eqnarray*}$ endlich. Daher kann der Durschnitt von U* mit der Vereinigung aller A_k nur endlich sein.

Zitat:

2. Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} M \subseteq \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} U(x) \cap M \end{eqnarray*}$ endlich ?

Das ist noch viel elementarer. Seien A,B zwei Mengen so dass $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ endlich ist. Sei nun $\begin{eqnarray*} C \subset B \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A \cap C \subset A \cap B \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} A \cap C \end{eqnarray*}$ endlich. (Teilmengen endlicher Mengen sind wieder endlich, sollte klar sein. Wir wissen :

$\begin{eqnarray*} U^*(x) \cap \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$ endlich. Und wir wissen

$\begin{eqnarray*} U^*(x) \cap M \subset U^*(x) \cap \bigcup_k A_k \end{eqnarray*}$

Daher ist $\begin{eqnarray*} U^*(x) \cap M \end{eqnarray*}$ endlich.

19.12.2009, 17:55

ankasztaj

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wow.... jetzt wird einiges klar smile

Also wenn $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ eine Umgebung von x in $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist, dann ist x ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ oder?

19.12.2009, 18:01

Mazze

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Hm, interessante Frage. Man sollte wohl nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq A_1, U_2 \subseteq A_2,..., U_n \subseteq A_n \end{eqnarray*}$

definieren. Wenn ich es recht bedenke ist obige Formulierung sogar falsch. Bessere Formulierung : $\begin{eqnarray*} U_i(x) \end{eqnarray*}$ ist eine solche Umgebung, so dass $\begin{eqnarray*} U_i(x) \cap A_i \end{eqnarray*}$ endlich ist. Diese Umgebungen U_i existieren, weil wir ja annehmen das x kein Häufungspunkt ist.

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