Parameterform in Koordinatenform - was mach ich falsch?

19.12.2009, 02:02

asianhawk

Parameterform in Koordinatenform - was mach ich falsch?

Ich bin einfach zu blöde sonen simples LGS zu lösen:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}+ s\times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}+ t\times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich stelle zuerst das LGS auf:

(1): x = 2 + 2s -t
(2): y = 2 + s - 2t
(3): z = 1 - s + 4t

Forme (2) nach s um:

(2'):y - 2 + 2t = s

setze (2') in (1) und (3) ein:

in (1): x = 2 + 3x (y - 2 + 2t) - t
(1'): x = -4 + 3y + 5t

in (3): z = 1 - (y - 2 + 2t) + 4t
(3'): z = 3 - y + 2t

und jetzt forme ich doch eine der beiden Gleichungen nach t um und setze sie in die jeweils andere Gleichung ein, oder?
also in diesem Fall nehme ich (3'):

(3'): z - 3 + y = 2t I:2
1/2z - 3/2 + 1/2y = t

und diesen neuen Term setze ich wiederum in (1') ein, oder?

(3') in (1'): x = -4 + 3y + 5x (1/2z - 3/2 + 1/2y)
x = -11,5 + 5,5y + 2,5z

noch Umstellen: x - 5,5y - 2,5z = -11,5

das Ergebnis müsste aber laut Lösung lauten: E: 2x + 3y + 4z = 12

was mache ich also falsch?

danke im voraus!

19.12.2009, 02:21

asianhawk

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sorry leute, die Parameterform muss so lauten:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ s\times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ t\times \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und auch die Lösung wäre korrekt:

E : -2x + 11y + 5z = 23

19.12.2009, 09:46

Explo

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Kannst du dann mal bitte deinen Weg nochmal aufschreiben?

19.12.2009, 11:09

sulo

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Mit $\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ s\times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ t\times \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

E : -2x + 11y + 5z = 23

bescheibst du zwei nicht identische Ebenen, die sich schneiden....

Mit anderen Worten: das Ergebnis der Umwandlung ist nicht korrekt

19.12.2009, 11:41

asianhawk

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ich kann nicht mal vernünftig abschreiben, im letzten Vektor müsste die 2. Koordinate -2 lauten. Sorry!! Gott

Also:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ s\times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ t\times \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und im LGS hab ich auch noch nen Fehler entdeckt (der aber im nächsten Schritt nicht weiterverrechnet wurde)

(1): x = 2 + 3s -t
(2): y = 2 + s - 2t
(3): z = 1 - s + 4t

jetzt müsste auch die Lösung (die richtige) stimmen:

E : -2x + 11y + 5z = 23

aber leider weiß ich damit natürlich immer noch nicht wo mein Fehler liegt unglücklich

19.12.2009, 12:17

Symbolic

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Die Parametergleichung und Koordinatengleichung passen jetzt zusammen.
Wo genau der Fehler bei deiner Rechnung ist, weiß ich jetzt auch nicht, aber ich finde du machst es auch unnötig kompliziert.
Es reicht auch, einen Normalenvektor zu berechnen indem man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Mit diesem multipliziert man dann beide Seiten der Parameterform und schon hat man deine Lösung (ok danach noch beide Seiten mit -1 multiplizieren).

19.12.2009, 13:03

Explo

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und um deinen Fehler zu finden solltest du nochmal alles zusammenhängend posten.
Weil jetzt muss man sich durch 4 Beiträge suchen um mal überhaupt was zu finden und dann weiß man immernoch nicht was wohin gehört ..

19.12.2009, 19:50

asianhawk

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okay, also alles nochmal fein säuberlich in einem post:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+ s\times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ t\times \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

führt zu folgendem LGS:

(1): x = 2 + 3s -t
(2): y = 2 + s - 2t
(3): z = 1 - s + 4t

Forme (2) nach s um:

(2'):y - 2 + 2t = s

setze (2') in (1) und (3) ein:

in (1): x = 2 + 3x (y - 2 + 2t) - t
(1'): x = -4 + 3y + 5t

in (3): z = 1 - (y - 2 + 2t) + 4t
(3'): z = 3 - y + 2t

und jetzt forme ich doch eine der beiden Gleichungen nach t um und setze sie in die jeweils andere Gleichung ein, oder?
also in diesem Fall nehme ich (3'):

(3'): z - 3 + y = 2t I:2
1/2z - 3/2 + 1/2y = t

und diesen neuen Term setze ich wiederum in (1') ein, oder?

(3') in (1'): x = -4 + 3y + 5x (1/2z - 3/2 + 1/2y)
x = -11,5 + 5,5y + 2,5z

noch Umstellen: x - 5,5y - 2,5z = -11,5

das Ergebnis müsste aber laut Lösung lauten: E: 2x + 3y + 4z = 12

su und jez würde ich mich echt freuen, wenn das mal jemand durchgehen könnte und den vermeintlichen Fehler ausfindig macht.

@Symbolic: Das Kreuzprodukt wurde uns Grundkurslern wohl vorenthalten. Deshlab ist diese umständliche Methode leider die einzige die kenne. Ich würde aber dennoch zukünftig solche LGS mit dem Kreuzprodukt lösen (wie mans anwendet kann ich mir ja auch selbst beibringen), aber es wurmt mich gerade einfach, dass ich das nicht auf die andere weise gebacken bekomme! ist auch nicht das erste LGS, das ich nicht gelöst kriege! böse

19.12.2009, 21:01

Gualtiero

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Zitat:

noch Umstellen: x - 5,5y - 2,5z = -11,5

Wenn Du die Gleichung mit -2 multiplizierst, kommst Du auf das Ergebnis von sulo, von Dir, und ich komme ebenfalls auf dasselbe.
Dann ist die angegebene Lösung eben falsch, kann vorkommen.

20.12.2009, 01:47

asianhawk

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danke!! echt nervig, dass bloß die Lösung falsch war, aber jez bin ich wenigstens sicher, dass mein lösungsweg korrekt ist!

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