Ungleichung Beweisen mit reellen Zahlen

19.12.2009, 12:03	nnausn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Beweisen mit reellen Zahlen Meine Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},...,a_{n} \end{eqnarray}$ beliebige reelle Zahlen, wobei $\begin{eqnarray} d= max \| a_{i}- a_{j} \| \\ mit\ i,j\in\left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s=\sum\limits_{i<j} \| a_{i}-a_{j} \| \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} (n-1)d\leq s\leq \frac{n^2}{4}d \end{eqnarray}$ _________________________ Wenn n=3 und $\begin{eqnarray} a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=3 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} s=\| 1-2\|+\| 1-3 \|+\| 2-3\| \end{eqnarray}$ . Ist das vom Verständnis her richtig? Ich habe bisher überlegt das man mit Sicherheit die Aussage in zwei Ungleichungen zerlegen sollte, doch was wäre jetzt der erste Schritt? Hier fehlt mir bisher eine Idee. Kann mir jemand helfen? Danke.
19.12.2009, 14:32	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein würde ich's bei solchen Aufgaben erstmal mit Induktion über n versuchen, wenn du keine Idee hast. Zumindest für die erste Ungleichung sollte dich das sicher ans Ziel führen.
28.12.2009, 11:15	nnausn	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem ist, wenn ich eine Induktion über n mache, wie sieht bei n+1 dann mein s bzw. d aus?
30.12.2009, 09:59	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür habe ich eine Fallunterscheidung gemacht. Also ob d etwas mit a_n+1 zu tun hat oder nicht.
01.01.2010, 12:45	skppg	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der Frage, wie $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ aussehen: Würde sagen: $\begin{eqnarray} s_{(n+1)}=s+\sum_{i=1}^{n}\|a_{i}-a_{n+1}\| \end{eqnarray}$ bei d müsste man wie bereits geschrieben eine Fallunterscheidung vornehmen: 1) $\begin{eqnarray} d_{(n+1)}=d=max\|a_{i}-a_{j}\| \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ liegt quasi zwischen der kleinsten und größten Zahl 2) $\begin{eqnarray} d_{(n+1)}=max\|a_{i}-a_{n+1}\| \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} d_{(n+1)}=d=max\|a_{n+1}-a_{j}\| \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ ist kleiner als die kleinste oder größer als die größte Zahl. Vielleicht kann man Fall 2 und 3 auch sinnvoll zusammenfassen. Damit kann man zumindest mal den ersten Teil der Ungleichung mittels vollständiger Induktion zeigen.
05.01.2010, 16:37	nnausn	Auf diesen Beitrag antworten »
die erste ungleichung haben wir mit induktion (mit den drei fällen) mit hilfe der dreiecksungleichung bewiesen. jetzt geht es an die zweite ungliechung (die rechte) - der beweis soll mit hilfe der dreieecksungleichung möglich sein. hast jemand eine idee für einen ansatz? danke! - bin schon ein wenig verzweifelt.
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