Unterräume

19.12.2009, 12:12	mexx0312	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume Hallo, ich habe vor kurzem eine Zwischenklausur geschrieben, demnächst soll noch eine richtige kommen, ich komme aber mit vielen Sachen trotz meiner Mühe nicht klar. Hier poste ich erstmal 2 Aufgaben, wo ich Probleme hatte. 1. Geben Sie sämtliche Vektoren aus dem Vektorraum V = $\begin{eqnarray} \mathbb (Z_{2})^{2} \end{eqnarray}$ an und bestimmen Sie sämtliche Unterräume der Dimension 1 von V. Ich habe hier 4 Vektoren dazu aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Viel weiter bin ich leider nicht gekommen. 2. Untersuchen Sie jeweils, ob die gegebene Menge U ein Unterraum des Vektorraums V = {f: $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ } aller reelen Funktionen ist. a) U = {f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V \| f(2) = 2} b) U = {f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V \| f ist monoton fallend} Ich weiss nicht wo ich bei der Aufgabe anfangen soll. Ich danke für jede Hilfe. MfG Max
19.12.2009, 12:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 2 ist sehr einfach. a) Betrachte 2f für f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V b) Betrachte -1f für f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V Aufgabe 1. Vermutlich sind die von diesen Vektoren aufgespannten UVRe alle möglichen. Also 3 eindimensionale, oder ?
19.12.2009, 17:59	mexx0312	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, mit der 1. hast du Recht, bringt mich aber auch nicht wirklich weiter. Jede Teilmenge von V ist ja so an sich ein Unterraum wie ich das verstehe, wenn folgende Bedingungen zutreffen: 1. U ist nichtleer 2. U ist abgeschlossen bzgl. der Addition 3. U ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation Heißt das, dass die 3 von 4 Vektoren gleichzeitig auch Unterräume sind, außer dem Nullvektor? Was ich im Detail bei Aufgabe 2. tun soll ist mir leider immer noch unklar.
19.12.2009, 18:19	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
In 2 sollst du einfach prüfen für welche Kombinationen Unterraum-Axiomen erfüllt sind, die du eben selbst aufgeschrieben hast.
19.12.2009, 18:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ad 1. Ein Vektor ist kein Vektorraum. ad 2. Mach doch mal ein Beispiel. Nimm dir eine ganz und gar und richtig konkrete reelle Funktion f in V und multipliziere sie mit 2 bzw. -1 . Wenn du dann noch immer nichts merkst, kann ich dir auch nicht helfen.
19.12.2009, 18:31	mexx0312	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir bitte, wenn du etwas Zeit hast, ein ganz großes Gefallen tun und bei 2a oder 2b das vorrechnen? Den übrigen versuche ich selbst zu machen.
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19.12.2009, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 2a) f(x)=2, dann ist 2f(x)=4 nicht in V. Also V kein Vektorraum. (Billiger geht's nicht. )

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