Kreis berührt Ellipse (Parabel) - Seite 2

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wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Im matheboard gibt es unterhalb des Aufrufs zum Formeleditor einen Funktionenplotter.
Ich habe ihn aber noch nicht benützt. Ich verfüge über eigene Software und kenne mich
aus diesem Grund gar nicht so aus, was des Internet alles frei anzubieten hat.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo wisili, ich habe nochmal ein Anliegen. Ich denke du kannst mir schnell dabei helfen Klarheit zu finden. Du hast doch meine Aufgabe gesehen, mit der Ellipse. Meine Aufgabe war diese, die Höhe Y und den Berührpunkt zu finden. Nun tu ich mir mit einer weiteren Aufgabe schwer. Stelle man sich vor man hat eine Scheibe mit einem Durchmesser von 120 mm und einer Dicke von 10 mm. Die Scheibe hat am Umfang einen Radius mit 5 mm (sieht also aus wie ein Fahradreifen ;-) ).
Nun stellt man sich vor man schwenkt das Gebilde. Jetzt hat man in der Projektion wieder die Ellipse. Angenommen man schwenkt um 45° hat dann ergibt sich für a = 42,4258 und für b = 60. Wenn man sich jetzt wieder den Kreis als zylindrischen Körper mit einem angenommenen Durchmesser von 15 mm mit einem vorgegebenen Abstand von 17 mm denkt, kann man doch damit wieder den Berührpunkt errechnen (sollte doch so sein) ? Oder mache ich da einen Denkfehler?
Der Drehpunkt der Scheibe liegt in X-Richtung im Zentrum, in Y-Richtung aber bei 0 (also an der rechten äußeren Seite).
Eigentlich muß ich doch mit der Formel alle Schwenkwinkel zwischen 0° - 90° errechnen können, mit eingerechneter Kompensation von dem äußern Radius am Umfang der Scheibe, oder liegt da noch eine Gefahr?
Ich habe das mal rechnen lassen und dann im CAD überprüft. Das lag daneben.
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich richtig verstehe, stehen die Masse 15mm und 17mm für das, was in der ursprünglichen Skizze
20-14 und 14 angeschrieben war.
Kommen die 5mm beidseits zu 120mm dazu, oder sind sie schon eingerechnet und beschreiben nur die Brechung der sonst scharfen Kanten?*
Und den kleinen Kreis soll man als Projektion eines geraden Kreiszylinders mit Achse in Projektionsrichtung ansehen.
Wo genau geschwenkt wird, ist nicht wichtig (bei beliebig langem Zylinder).
Was meinst du mit «eingerechneter Kompensation»: siehe *?

Vorläufige Antwort:
Der Berührpunkt der beiden Körper ist nicht am äussersten Umfang des «Pneus», sondern irgendo schief auf dieser «Lauffläche». Das macht alles zumindest ungenau, oder eben falsch.
Im Moment fehlt mir die Zeit, bis abends.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, die 17,5 entspricht nun den 20mm, der Kreis oder jetzt ist es ein Zylinder (kann man sich im Raum besser vorstellen) hat den Durchmesser 15 mm. Der Radius (oder besser gesagt das "Profil") auf der SCheibe hat den Radius 5 mm und ist in der DUrchmesserangabe 120 mm inbegriffen.
Nein, die Position auf de geschwenkt wird in Längsrichtung von dem "Zylinder" ist nicht relevant.
Ja, das ist richtig, der Berührpunkt liegt nicht am äußern Punkt. Wenn der Zylinder die Scheibe genau in bei Y = 0 (also Scheibenmitte) berührt, das ist der innerste Berührpunkt der Scheibe. Bei der Berührung Y = -60 (also an der unteren Seite der Scheibe ist der Berührpunkt genau in der Mitte des "Profils".
Somit habe ich mir gedacht, das ich für die Berechnung die innerste Matellinie als das Maß a der Ellipse verwende, berechnet mit dem Schwenkwinkel.
Ich hab schon einiges rumprobiert, aber noch nicht zum Ziel gekommen. Am besten gebe ich die dazu mal ne Zeichnung wie ich mir das aufgerissen habe.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir einigermassen folgen, ausser: wieso jetzt 17.5mm?
Auch «innerste Mantellinie» verstehe ich nicht genau.
Ich sehe den Berührpunkt für y=0 im halbkreisförmigen «Pneuquerschnitt» bei einem Polarwinkel,
der dem Schwenkwinkel der Scheibe entspricht.
Deine Idee, in der Projektion wieder von einer Ellipse auszugehen ist sicher clever, hochgenau,
aber, da bin ich mir leider noch nicht sicher, wahrscheinlich nicht ganz exakt.
Ich weiss natürlich nicht, wie genau deine Berechnungen in der aktuellen Anwendung sein müssen
bzw. welche Genauigkeit noch Sinn macht.

Es darf hier gerne auch jemand anders mitdenken: Ich weiss noch nicht, ob ich weiterhin Zeit finde.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,, oK, die Maße und Positionen kann man auch von der allerersten Zeichnung verwenden. Wenn es damit funktioniert kann man mit allen anderen WErten auch rechnen. Zur Erklärung der "Mantellinie" so wie ich das bezeichne, kennzeichnet den Verlauf des Zylinders auf dem Profil der Scheibe. Stell dir vor die Scheibesteht rechtwinklig vor dem Zylinder. Jetzt schwent man die Scheibe um 60°. Von der Seitenansicht wirkt die Scheibe jetzt wie eine Ellipse. Wenn du das zylindrische Teil jetzt an der Scheibe von oben nach unten führst, und einmal den Berührpunkt beobachtest, wirst du feststellen das du oben und unten (y = +60, y = -60) auf dem größtmöglichen Durchmesser den Berührpunkt hast, in der Scheibenmitte (also Y = 0) am weitesten in das Scheibeninnere ragst. Das meine ich als Matellinie. Wenn man verschiedene Schwenkwinkel betrachtet könnte man da doch auch von Ellipsenscharen sprechen, wie sie z.B. hier :
http://www.mathematische-basteleien.de/ellipse.htm
Was denkst du? Diese Spur die der Zylinder eigentlich ergibt, ist doch auch eine Ellipse? Oder mach ich mir da eine Illusion das rechnerisch so berechnen zu können?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage habe ich doch so beantwortet: Es würde mich erstaunen, wenn es exakt eine Ellipse ist,
ich schliesse es aber nicht aus. Ein Beweis dafür liegt (noch) nicht vor. Aber selbst, wenn es nicht
stimmt, wird der numerische Fehler relativ klein sein. Es kommt nun darauf an, was du tolerieren kannst.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Fehler bei 0.01 mm liegt, wäre das noch vertretbar. Aber noch mal zu der Mantellinie die entsteht, wenn man den Zylinder bei geschwenkter Scheibe betrachtet. Kannst du dir das genau vorstellen, oder soll ich dir da mal eine Skizze zur Veranschaulichung zeigen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mir das schon vorstellen. Der «Pneu» des «Velorades», oder der «Schwimmring»
heisst mathematisch Torus. Schaut man sich diesen in Richtung seiner Drehachse an, so sieht man
einen Kreisring. Dreht man die Torusebene nur leicht, dann wird aus dem Kreisring ein
elliptischer Ring. Dreht man stärker, so stellt man fest, dass sich zumindest die innere Ellipse,
das Loch, verzerrt, sicher keine mathematische Ellipse mehr ist. Dasselbe passiert, nur etwas gemässigter,
mit der äusseren Ellipse. Dreht man sehr stark, z.B. 89°, dann sieht man ein«Rechteck mit runden Breitseiten».
Abzuschätzen, in welchem Winkelbereich welche Fehler auftreten, dazu bin ich (noch?) nicht in der Lage.

0.01mm Fehler wird aber schon nach wenigen Grad Drehung überschritten!
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo wisili,

ich habe die Ableitungen nun mal in meinem Programm gecheckt. Ich kann bei der Gleichsetzung keine gemeinsame Zahl finden. Kannst du mal prüfen ob die Gleichsetzung auch wirklich so stimmt wie du sie in deinem Rechner eingegeben hast?

Ich habe das ganze nun mal noch in Variablen gepackt.




wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hatte die erste dieser Gleichungen auch. y kommt aus der Ellipsengleichung. Aber das hatten wir schon mal.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry das hatte ich nicht beigefügt. Sieht dann aber so aus:




Die VErsion mit Variablen:




Kannst du nochmal prüfen ob das mit deiner Gleichung auch wirklich stimmt?

Dann setze ich in meinem Werte für die Variablen ein und lasse in einer Schleife rechnen bis beide Seiten identisch sind. Und das funktioniert bis jetzt nicht.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wurzel, die du für y einsetzt stimmt soweit, aber es sind zwei Vorzeichen + und - möglich und
im deinem Fall (s. Figur) kommt nur ein negatives y in Frage: Du musst das Minuszeichen vor dem
ganzen Term auf der linken Seite der Gleichung löschen (kompensieren).

Dann muss x = 14.2894... resultieren (mit a=16.55, b=30).
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, erster Durchlauf mit Gleichsetzen funzt. Hatte in der Berechnung ein Vorzeichenfehler.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ein etwas anderer weg wäre:
mit dem mittelpunkt des gesuchten kreises und dem gemeinsamen berührpunkt löse man mit



für numerisch:




damit berechnet man



wisili Auf diesen Beitrag antworten »

oehrle und ich sind uns bewusst, dass die original 3-dimensionale Aufgabe,
von der wir hier in den Figuren nur die Projektion sehen, mit obigem
Vorgehen unbefriedigend, ja falsch gelöst wurde.
Wir gingen davon aus, dass eine Torusprojektion eine Ellipse ergibt.

http://mathworld.wolfram.com/Torus.html
zeigt Koordinaten- und Parameterdarstellung eines Kreistorus.

[attach]12984[/attach]

Ich habe aber noch keine Zeit gefunden, darüber nachzudenken.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wie findet man die äussere Randlinie der Projektion des Torus?
[attach]12985[/attach]
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mein beitrag sollte keine kritik an deinem/eurem lösungsweg sein sondern sollte "zu guter letzt" nur eine altervative aufzeigen,
wie man das problem auch angehen könnte.
ich beziehe mich dabei ausschließlich auf den 1. beitrag von oehrle.

die "torusproblematik" war mir gar nicht bekannt Augenzwinkern
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe

ich habe deinen Beitrag nur deshalb nicht einbezogen, weil ich ihn nicht verstand,
so ohne Text. Hat das auch mit diesem Projektionsproblem zu tun?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich oehrles Aufgabe wirklich genau verstanden habe, geht es im wesentlichen darum,
dass sich ein Torus und ein Rotationszylinder mit zueinander schiefen Achsen berühren.

Die bisherige Beschreibung von oehrle und dann meinerseits ging immer von einem Schnitt senkrecht zur Zylinderachse aus, sodass der Zylinder als Kreis und der Torus als Fast-Ellipse erschien. Aber das «Fast-» haben wir vernachlässigt, weil am Anfang nur von einer ellipse die Rede war und die 3D-Einbettung der Aufgabe von oehrle erst im späteren Verlauf des Threads bekannt wurde. Schliesslich vermuteten wir, dass die Vernachlässigungen nicht harmlos sind.

Nun bringt mich die Zeichnung von riwe mit dieser Zentrums-Ortslinie einer Lösung näher:
Der Torus soll durch die Radien R und r beschrieben werden. Lässt man dem Torus «die Luft ab», dann zieht er sich
(um den Radius r schrumpfend) auf einen Kreis mit Radius R zusammmen. «Bläst man gleichzeitig den Zylinder um den Radius r auf», dann berühren sich die Dinger immer noch. In der Projektion sind es nun exakt Ellipse und Kreis.
Das Berührproblem ist auf ein einfacheres verlagert worden, das wir oben (mit falschen Massen) schon gelöst haben.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
Hallo riwe

ich habe deinen Beitrag nur deshalb nicht einbezogen, weil ich ihn nicht verstand,
so ohne Text. Hat das auch mit diesem Projektionsproblem zu tun?


@wisili
nein, wie oben angeführt, war mir davon nix bekannt.

ich habe das zeug aus beitrag 1halt einfach vektoriell gelöst.

die idee: nimm einen punkt B auf der ellipse und bestimme den korrespondierenden punkt B* im normalenabstand n = r.
d.h. bastle eine zur ursprünglichen ellipse "parallele" ellipse im normalenabstand r.
für hat man dann den gesuchten mittelpunkt des kreises.

aha, jetzt sehe ich, was es mit torus und zylinder auf sich hat Augenzwinkern
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo riwe, danke für deinen Beiitrag. Deine Formulierung mit deiner Lösunk kann ich nicht ganz nachvollziehen. Kannst du zu den einzelnen Schritten noch was erläutern? Was ist die Variable w?

Ich habe die Berechnung mit der Gleichsetzung der beiden abgeleiteten Gleichungen in ein Programmm eingefügt. Hätte ich gar nicht gedacht, das die Berechnung dafür mehrere Sekunden braucht. Aber wurde mir klar diese Woche klar als ich das Programm ausklabusterte und nochmals die Erklärungen von wisili betrachtete. Es ist eine schrittweise Annäherung. Ich dachte erst es macht bing, und der berechnete Wert fällt raus. Habs aber auch bemerkt, das der Taschenrechner dafür längere Zeit braucht.
Aber wichtig: Es funktioniert
Nun kam dann halt noch das Problem mit dem Torrus dazu. Ich hab mir das angeschaut. Stellen wir uns vor ich habe eine runde Scheibe mit einem Durchmesser von 50 mm, die 10 mm dick ist . Das ist das Grundprofil. Nun sitzt hier noch ein Profil drauf mit einem 5-er Radius. Die Scheibe hat dann einen einen endgültigen Durchmesser von 60 mm. Der Zylinder (vorher Kreis) im Raum liegt rechtwinklig zur Scheibe. Der Zylinder hat wieder den vorgegebenen Abstand von 20 mm aus seinem Zentrum zum Scheibenzentrum.
Jetzt kommt der springende Punkt. Drehe ich die Scheibe in ihrer Hochachse (Z) z.B. um 45°, wandert auch der Berührpunkt. Egal ob ich +45° oder -45° schwenke, der Betrag bleibt das glieche, nur die Seite wechselt sich. Lasse ich in dieser Geschwenkten Position das Werkstück um die Scheibe laufen, macht das Werkstück auch eine Ellipsenförmige Bahn. Ich bin mir nicht sicher ob das eine elliptisch ebahn ist. Man kann a bei dieser Ellipse über den Schwenkwinkel auf halbem Scheibendurchmesser berechnen. Diese Bahn hat aber als Maß b den Scheibenradius. Wenn man versuchen würde diese Spur die sich durch das rundherumbewegen des Zylinders so hinzudrehen das es ein Kreis ist, denke ich es würde nicht funktionieren. Gibt es aber evtl. doch eine Möglichkeit das relativ schnell und einfach zu berechnen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

w(urzel) ist eine hilfsgröße, die im obigen beitrag definiert ist.

die idee habe ich auch schon skizziert: nimm einen beliebigen punkt auf der ellipse, bastle den entsprechenden normalenvektor der länge (nach außen), dann erzeugst du im prinzip eine zur gegebenen ellipse "parallele= ellipse im abstand des gesuchten kreises.

wenn du nun diese mit schneidest, hast du den mittelpunkt des gesuchten kreises

die entsprechende gleichung für steht im beitrag und läßt sich leicht mit newton (näherungsweise) lösen.

dazu brauchst die z.b in excel kein programm, per spaß habe ich das zeug in VBA programmiert. laufzeit << wimpernschlag, von mehreren sekunden keine rede smile

das mit dem torus muß ich mir erst zu gemüte führen
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