Kreis berührt Ellipse (Parabel)

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oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis berührt Ellipse (Parabel)
Hallo, ich habe eine Ellipse. Ich möchte an dieser Ellipse (was auch einer Parabel entsprechen kann) den Berührungspunkt von einem Kreis ausrechnen. Der Kreizentrum muß von der senkrechten Mittelachse der Ellipse einen vorgegebenen Abstand haben. Die Elipsenkontur und die Kreiskontur dürfen sich also nur an ihrem äußerten Punkt berühren. DIesen Punkt muß ich berechnen. Habe das mal über die Polarkoordinatenberechnung an der Ellipse versucht. Das stimmt dann aber nicht genau wenn man sich das mal aufzeichnet. In der Schule hatten wir Kurvendiskusionen, Parabelschnittpunkte durchgeführt, ist aber schon wieder ein paar Jahre her. Muß mich da wieder einarbeiten. Habe ein Bild beigefügt wie das ganze aussehen kann. Hat jemand eine Idee ?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel)
Bitte das Bild mit ["Dateianhänge"] direkt hochladen.
Dein Bild wird dann im Beitrag da angezeigt, wo

[attach]xxxxx[/attach]

steht.
 
 
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo, hier das Bild die das genauer erklären soll. Also gegeben ist die Ellipse, der Durchmesser vom Kreis der die Ellipse berühren soll, die Entfernung vom Kreismittelpunkt zur Y-Achse der Ellipse.
[attach]12624[/attach]
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
wozu brauchst du da noch einen kreis, wenn x = 14 eh gegeben ist verwirrt
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo Riwe, der Abstand von 14Einheiten egibt sich über den Radius vom Kreis. Das kann aber unmöglich der Berürungspunkt der beiden Körper sein, den muß ich errechnen können. Wie kann ich den Berührungspunkt bestimmen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Bestimme die Ellipsengleichung. Setze x=14, löse nach y auf.
(Die Massangabe 20 wird nicht gebraucht. y wird fast ±16.)

Rückfrage: Geht die gelbe Gerade durch den Berührungspunkt Kreis/Ellipse
oder tangiert sie den kleinen Kreis. Ich habe Ersteres angenommen.
oehrles letzter Beitrag zielt aber eher auf Letzteres.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo wisili, die gelbe Gerade tangiert nur den Kreis. Der Berührungspunkt wird irgendwo in der Gegend von de grünen Linie sein, die ich einfach aus der Ellipsenmitte gezeichnet habe.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Dann würde ich so vorgehen:
Ellipsengleichung (implizit) nach x ableiten und nach der Steigung y' auflösen.
Gleichung des grünen Kreises mit Zentrum (20,u) und Radius 6 (implizit) nach x ableiten und nach der Steigung y' auflösen. Dabei fällt u heraus.
Bei den Vorzeichen (nach dem Wurzelziehen) darauf achten, dass du die untere Halbellipse und den oberen grünen Halbkreis erwischst!

Für den Berührpunkt (x,y) setzt man die oben genannten Steigungen gleich und löst nach x auf.
y und u folgen dann durch einsetzen. Als Resultat habe ich erhalten:

[attach]12628[/attach]
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
OK, das ist ja die Gleichung für die Ellipse :

und für den Kreis sieht das glaub ich folgendermaßen aus:





Das mit dem Ableiten muß ich mir erst mal ansehen, ob ich das hin krieg.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Diese Ellipsengleichung trifft zu. Aber

Zitat:
Original von oehrle


... ist falsch.

Das Zentrum (20, u) ist ja nicht im Ursprung. Für den oberen Halbkreis gilt deshalb:
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
das ergebnis kann ich bestätigen smile
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo, habe mich wieder vor mein Problem gesetzt.

Nun muß ich laut wisili die Ellipsengleichung nach x ableiten, habe da aber meone Probleme. Ich muß mir erst mal wieder siese Regeln anschauen. Hier wird ja diese Quotientenregel greifen, ist das korrekt? Gibt mir da nochjemand Hilfestellung dazu?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
das leitet man einfacher implizit ab



und analog erhältst du die ableitung der kreisgleichung.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo riwe, habe mich heute morgen wieder mit der Aufgabe beschäftigt. Puh, wälze gerade meinen alten Matheordner. Langsam dämmerts wieder. Einfache Sachen kann ich auch wieder ableiten, irgendwie kommt da auch wieder so ein bißchen Spaß und Freude auf, und es war dann doch nicht umsonst das man das damals gelernt hat (wenn man das meiste auch wieder vergessen tut). Aber langsam dämmerts wieder.
Habe mir mal die Ableitungsregeln angeschaut un ein paar Beispiele nachgerechnet.
Die Ableitung die du gemacht hast, die baut doch auf die Quotientenregel auf, oder?



Ist das korrekt?
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Die Kreisgleichung lautet ja:



Damit ich diese ableiten kann, wird man die erst mal umformern, ist das richtig?
Und zwar würde ich die Wurzel gegen eiine Potenzumformung vornehmen, wenn das so stimmt. Hier mal meine Lösung:




Das könnte man doch dann noch vereinfachen, so etwa, in dem man die Potenzen multipliziert??



Stimmt das so?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Nein, wegen der Differenz!
u fällt weg beim Ableiten.
Für die Wurzel brauchst du die Kettenregel.
Den Radikand würde ich ausmultiplizieren.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Danke für die Antwort, wisli. Ich steh aber auf dem Schlauch. Muß ich die linke Seite auch ableiten, oder umstellen auf y, so z.B:


wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung


mit w = 6^2-(x-20)^2
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo wisili, neuer Versuch von mir. Ich brch mir dabei noch einen Zacken raus.

Also, bei der Kreisgleichung meiste den Radikant ausmultiplizieren. Ich denke du meinst die Wurzel als Potenz umschreiben, damit man damit die Ableitung der gesamten Funktion stellen kann. So sieht die umgestellte Formel aus:



Ist das fertige Gerippe dann so OK ?




Wie verkupple ich jetzt die beiden Ableitungen, damit ich ein anständiges Ergebnis rausbekomme? Mitternachtsformel, Satz von Vieta, grins verwirrt
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Hallo, nochmal zum Thema der Berechnung. Wenn die beiden Gleichungen abgeleitet sind, dann muß man diese gleichsetzen. Die betreffenden Werte eintragen. Dann sieht das so aus:



Damit mir das umstellen einfacher fällt, setze ich in x=14 ein. Korrekt?


Wäre die dankbar, wenn du das mit der ABleitung nochmal checken könntest.
Das gleichsetzen macht mir bei der Umformung Probleme. Wie sieht die korrekte Lösung aus? So kann ich selber ´noch versuchen was ich falsch mache.



In meinen Unterlagen habe ich etwas zu den Parabeln gefunden. Dort haben wir auch eine Schnittpunktberechnung durchgeführt.Beide Funktionen wurden gleichgesetzt.
Danach wurden die Ergebnisse eingesetzt, und die Y-Schnittpunkte ermittelt.
Wäre das nach diesem Muster hier nicht möglich?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Die Ableitung ist ganz falsch.
Radikand ausrechnen heisst die binomische Klammer unter der Wurzel lösen, aber korrekt.
a und b sind bekannt (siehe Skizze).
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Die Umstellung mit der bin. Formerl ist dann so:



Die 6² kann ich dann sofort verrechnen.



Ist das so richtig?

Beim Ableiten fällt u raus?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
2 Vorzeichenfehler.
u fällt raus, weil es nicht von x abhängt, also konstant ist.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
OK, sieht dann wohl so aus:




Das weiter vereinfacht:



und das wäre dann weiter vereinfacht:




Dann noch die Ableitung. Ich nehme die Kettenregel, ist das korrekt trotz Wurzel?? Außerdem fäält dann -364 raus.




Habe ich das richtig gemacht?

Aber in den Ableitungsregeln hab eich mir mal aufgeschrieben das

==>


Wäre das dann nicht so korrekt?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis berührt Ellipse (Parabel), Bild zur Erklärung
Nein, die Kettenregel geht ganz anders.
Ich habe es ganz weit oben schon mal ausgeführt (mit der Hilfsvariablen w).
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Regel soll das ein die du da meinst?



mit w = 6^2-(x-20)^2

WO steht diese Regel?

Kann ich mir sicher sein das deine Angabe stimmt? Ic muß mir nun überlegen ob ich einen anderen Weg über eine programmierte Annäherung mache, denn ich muß diese Aufgabe diese Woche erledigt bekommen.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun nicht mehr sicher, ob du die Kettenregel überhaupt kennst, denn das ist sie.
Ohne sie schafft man die Ableitung nicht.

(Auch die Ellipsengleichung wurde mit der Kettenregel gewonnen, von riwe, implizit.
Hast du dort bloss das Resultat übernommen und damit vorgetäuscht, du würdest die Kettenregel kennen?)
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, du hast recht, entschuldige. Ich habe Kettenregel geschrieben, habe aber die Summenregel verwendet. Ich dachte aber auch ich muß die Summenregel verwenden. Das Problem ist halt, das ich mit normalen Funktionen das hinbekommen würde. Im Matheunterricht hatten wir soche Funktionen nicht berechnet, da blieb es bei den Parabeln. Ich werd mich nochmal versuchen.

Kettenregel hatte ich mir so notiert:

und abgeleitet ==>

Nun, da wird ja erst einmal von der Funktion abgeleitet, das heißt wenn der ganze Term eine ^2 Potenz hätte, dann würde das ganze erst mal mir 2 * ... beginnen. Aber ich habe ein 2. Wurzel. Da ist das dann 0.5 * ...

Ist das korrekt??
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Vorhaben für die Wurzel stimmt. Es wird aber bestimmt für dich einfacher, wenn du im Formelbuch nachschaust, welche Ableitung eine Quadrat-Wurzel hat.
v ist jetzt die Wurzelfunktion und u (bei mir w) ist der Radikand.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »



und das dann gleichsetzen mit der oben gewonnenen Ableitung aus der Ellipsengleichung.
(Uebrigens die Halbachsen a und b sind dort durch Zahlen aus der Zeichnung zu ersetzen.)
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Also, habe mal versucht abzuleiten. Von der Quadratwurzel ist die Ableitung:


oder:



OK habe gerade deine vollständige Version gesehen. Die ABleitung von u ist mit klar (2x +40). Aber wieso stehen die dann im Zähler?
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, habe damit gerechnet. Ich komme auf keinen grünen Zweig. Die Ableitung vom Kreis und der Ellipse gleich setzen und auflösen (Mitternachtsformel). Dann muß ich zwei Werte für X bekommen, die setze ich dann in eine der beiden Funktionen ein. Dann bekomme ich die Y Werte.

D.h. aber ich muß die Ellipsenableitung erst noch umstellen, und zwar Y auf die andere Seite bringen, damit beide Ableitungen gleich sind (Gleichsetzung), oder?
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, wenn ich die beiden Ableitungen Gleichsetze, wie gehe ich bei der Auflösung genau vor ? Die beiden Ableitungen bleiben so gegenüberstehen wie sie sind?



Die Zahlen noch einsetzen:



Smit habe ich dann irgendwann ein x² und y in da stehen (oder das sollte wohl so sein). Aber dazu muß ich ja die Wurzel isolieren. Einfach quadrieren oder Zahler mal Nenner (überkreuz) ?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler: Die eingesetzten Zahlen für a und b sind vertauscht!
Ja, einfach quadrieren.
Leider muss dann y^2 noch ersetzt werden (mit Hilfe der Ellipsengleichung, s. weit oben).
Schliesslich bekommst du nach dem Nenner-Wegschaffen eine Gleichung 3. oder 4. Grades.
Dafür gibt es zwar Auflösungsformeln, die hier jedoch absolut fehl am Platz wären;
du wirst ein numerisches Verfahren (sprich SOLVE-Befehl eines modernen Taschenrechners) brauchen.

(Uebrigens: Du hast beim Erklären der Kettenregel oben mal u eingeführt. Das war natürlich nicht das u in der Aufgabe, sondern ein anderes. Habe verstanden.)
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann mal weiter. Korrektur von a un b:







Dann Nenner eliminieren:



Dann quadrieren, da habe ich ein Problem. Den rechten Term krieg ich hin, aber den linken aufzulösen? Multipliziere ich (-x+20) zuerst mit Y oder ist der Klammerausdruck nach dem quadrieren als bin. Formel zu sehen?


wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, als binomische Formel. Und aus y wird y^2 (und das muss dann ersetzt werden).
Aber hast du dir mal überlegt, wieso du soweit vereinfachen willst, wenn doch
am Schluss nur eine numerische Lösung in Frage kommt?
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

OK, werde es versuchen. Kannst du mir die fertige Formel posten, damit ich nachsehen kann, wie ich drauf komme?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

hat einen Fehler: Es braucht ein Minuszeichen vor 900.

Aus der Ellipsengleichung gewinne ich:

Das muss zuoberst eingesetzt werden. Natürlich können beide Gleichungsseiten dann quadriert werden.
Aber wie gesagt, jetzt mache ich Schluss. Der Rest ist Numerik. Du musst irgend eine Rechenmaschine
ansetzen, und das geht auch schon in diesem Zustand der Gleichung.

Geometrisch zutreffende Lösung ist x = 14.2894 ... (wie schon früher gepostet)
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, wisili für die viele Geduld. Ich werde das mal in eine Programmroutine packen.
Ich werde mich bestimmt nochmal melden, weil ich muß diese Umstellerei auch komplett beherrschen. Hab edazu wieder einiges in meinen alten Technikerunterlagen gefunden.
oehrle Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich noch fragen wollte: Im NEtz habe ich zwei Seiten gefunden, auch bei Matheboard wo ich die Funktionen ableiten lassen kann. Kann ich die aber auch die beiden Sachen grafisch anzeigen lassen? Gibts da noch eine gute Seite im Netz, wo man das auch errechnen lassen kann, damit man eine Kontrolle hat?
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