Matrix - Induktion

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix - Induktion
Guten morgen zusammen, habe folgende Aufgabe aufbekommen:

(siehe Anhang).

Jetzt haperts bei mir schon am Induktionsanfang:

für n=1 ist die Behauptung erfüllt, ich habe ja dann:



passt...

Aber für n=2 (zusätzlich mal überprüft) haperts bei mir:

Ich müsste herausbekommen: .

Bei der Matrix erhalte ich für n=2 eine 2x2 Matrix mit folgenden Einträgen:



Also

Aber ist ungleich .

Wo habe ich da meinen Fehler?

Grüße Physinetz
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe es schon alleine rausbekommen, durch die Additionstheoreme..

Nun aber die Frage, wie ich weiter mache, ich muss ja nun praktisch aufstellen, aber wie funktioniert das?

Wenn ich A_n habe, kann ich ja dann bei A_n+1 , die Matrix vielleicht aufspalten in A_n und A_1 und dann für A_n meine Induktionshypothese verwenden, dass det A_n=cos (n*x) ist...


Nur wie ich die Determinante hier nun für eine A_n Matrix berechne weiß ich in diesem Fall nicht...

Viell. wisst ihr einen Tipp?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix lässt sich so schreiben :



Wenn Du die Determinante davon jetzt nach der letzten Spalte oder der letzten Zeile entwickelst (Entwicklungssatz) bleibt nicht mehr viel übrig. Auf diese Weise kann mans zeigen.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, da stehen überall noch Nullen, dachte da sollten dann noch 1en vorkommen.

Gut, wenn ich die letzte Zeile Streiche muss ich praktisch noch nach der 1 und nach 2cos(x) entwickeln also:



hier fehlt mir jetzt noch die Determinante der Matrix, die ensteht wenn ich die unterste Zeile Streiche und nun eben noch nach der 1 (hier mit negativem Vorzeichen dann) entwickle... gibt es da irgendeinen Trick, weil sonst dürfte es ja ziemlich komliziert werden.

Meine Matrix nach der letzten Zeile und nach 1 entwickelt sähe ja dann iwie so aus:

.

Der Unterschied liegt ja nun darin, dass ich im rechten unteren Eck nun eine 1 habe anstatt 2cos(x) .

Aber weiß hier nicht wirklich weiter...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante der neuen Matrix könntest Du wieder nach der letzten Spalte Entwickeln. Dann bleibt übrig. Danach musst Du dich nur noch erinnern, dass man beim Induktionsschritt daovn ausgeht, dass die Aussage für alle Vorgänger von n + 1 bereits gilt (sofern wir nicht von vornherein bestimme n ausschließen, was manchmal ja passiert).
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

dann bekomme ich ja raus:



Hinweis: das erste Minus vom ersten Streichen, das zweite, vom Zweiten

Und nun gilt:
und:

Das kann ich ja dann oben einfach einsetzen:



Und dass muss ja ergeben.

Nur ist die Umformung ziemlich schwierig, falls meine Terme überhaupt stimmen...

Weißt du nochmal Rat?

Dank Dir
 
 
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt also



Zu zeigen ist, dass



Benutze dazu


Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf

Bei mir steht hinten ein plus , da einmal -1 vom ersten Streichen und das 2. mal -1 vom zweiten Streichen, macht 1

Gruß physi
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, beim zweiten mal Streichen betrachtest Du doch die Zeile n und die Spalte n. Und der Vorfaktor ist dann

edit : nochmal korrigiert, Spalte n und Zeile n !
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke!

Nur wenn man nach dem Schachbrettprinzip (Plus Minus) geht, ist rechts unten in der Diagonale ein + , dieses wird ja für 2cos(x) verwendet beim Streichen (erste Mal).

Beim zweiten Streichen nutzt man nun die 1, die über dem 2cos(x) stand. Das 2cos(x) ein positives Vorzeichen beim Streichen hat, muss doch die 1 , die über 2cos (x) steht, negativ werden. Weil nach dem Schachbrettprinzip ist die Diagonale ja positiv, und über der Diagonale sind ja dann Minuszeichen...

Oder muss man nun für die neue Determinante das Spiel von neuem machen, dass die Diagonale in der jetzt kleineren Matrix wieder positiv ist?

Gruß und vielen Dank !!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oder muss man nun für die neue Determinante das Spiel von neuem machen, dass die Diagonale in der jetzt kleineren Matrix wieder positiv ist?


Eigentlich beantwortet sich die Frage von selbst. Man will die Determinante einer Matrix berechnen. Dazu verwendet man den Entwicklungssatz. Nach dem Schachbrettprinzip ist das Vorzeichen , wenn man die letzte Zeile und letzte Spalte streicht, immer positiv. Du berechnest dann die Determinante der Matrix :



Da bietet sich natürlich der Entwicklungssatz an, wenn man nach der letzten Zeile entwickelt erhält man dann . Wie kommst Du überhaupt auf die Idee das Schachbrettmuster der alten Determinante fortzusetzen? Das ist doch eine völlig neue Matrix.
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