Frage zu Reihen

20.12.2009, 12:07

Moritz87

Frage zu Reihen

Hallo zusammen,
Sitz' gerad' an folgenden Aufgaben und komm' zu keinem Beweis.
a) Konvergieren die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in C so konvergiert auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$
b) Konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ absolut und ist $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ beschränkt so konvergiert auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ absolut.
Die a) ist doch trivial verwirrt

Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$
und man weiß dass die zwei reihen konvergieren so muss eben auch das Produkt konvergieren?
bei b) ist doch z.Z Für alle epsilon>0 existiert $\begin{eqnarray*} n_o \end{eqnarray*}$ Für alle m $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n_o \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=n}^m | a_k * b_k || \end{eqnarray*}$ < epsilon
Stimmt der Ansatz soweit? verwirrt

20.12.2009, 12:26

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$
Gilt nur für absolutkonvergente Reihen.

20.12.2009, 12:59

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rmn
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$
Gilt nur für absolutkonvergente Reihen.

Ich denke, man muss den Gültigkeitsbereich für diese Formel noch weiter einschränken... Im Moment fallen mir nur Beispiele ein von der Art, dass für beide Reihen alle Reihengleider bis auf höchstens eines verschwinden, aber viielleicht gibt's ja auch noch weitere.. Big Laugh

20.12.2009, 14:08

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, er hat da nicht mal Chachyprodukt drin, gar nicht beachtet, dann wirds nicht so soll mit dm Beweis smile

20.12.2009, 14:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Diese Beziehung ist krass falsch. Das sieht man schon leicht mit der Folge b_1 = b_2 = 1 und b_n = 0 für n >= 3.
Abgesehen davon müßte der Laufindex n sein. smile

20.12.2009, 14:19

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Insbesondere ist zu beachten, dass lediglich von Konvergenz gesprochen wird. Nach dieser Argumentation müsste dann der Grenzwert d. Folgenproduktes gleich dem Produkt der Grenzwerte der Folgen sein - und dem ist i.A. eben nicht so.

Ganz so trivial ist es also nicht.
Im Übrigen kann man sich auch gut vor Augen führen, warum das versagt:

$\begin{eqnarray*} \sum a_kb_k = a_1b_1 + a_1b_2 + \ldots \neq (a_1 + b_1 + \ldots) \cdot (b_1 + b_2 + \ldots) = \sum a_k \cdot \sum b_k \end{eqnarray*}$

air

20.12.2009, 14:27

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dachte beii ihm steht $\begin{eqnarray*} \sum_{i, j=0}^\infty (a_i\cdot b_j) = \left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{i=0}^\infty b_i\right) \end{eqnarray*}$ , das mit laufindex, naja, das wird so oft verwechselt, da achte ich nicht mehr drauf, wenns jemand vertauscht.

20.12.2009, 14:47

Moritz87

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja dann ist die 1) also nicht trivial Big Laugh

Aber wie kann man das denn beweisen?
Aber der Ansatz von 2) müsste doch stimmen?

20.12.2009, 15:12

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Die a) ist doch wohl falsch?

Man wähle z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\ \text{und } \sum_{k=1}^\infty b_k=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

20.12.2009, 15:41

Moritz87

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert wohl deswegen nicht da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ harmonische Reihe ist?

20.12.2009, 16:33

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Moritz87
Das Produkt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert wohl deswegen nicht da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ harmonische Reihe ist?

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, das ist aber nicht das Produkt der Reihen die Ungewiss genannt hat, das wäre $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{((-1)^k)^2}{( \sqrt{k} )^2} = \sum _{k=1}^\infty (-1)^{2k} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Ungewiss hat Recht, die Aufgabe a) ist so nicht beweisbar, da es (offensichtliche) Gegenbeispiele gibt. Schau noch einmal nach ob das wirklich deine Aufgabe ist oder ob dort noch etwas fehlt (absolute Konvergenz vielleicht?).

20.12.2009, 16:34

heinzelotto

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und zwar gegen log(2), aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}*\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{2k}}{k} = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

20.12.2009, 17:34

Moritz87

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh da hab' ich wohl nicht richtig gerechnet smile

Also die Aufgabenstellung zu 1) lautet ja beweisen oder widerlegen sie. Demzufolge muss es eigentlich genügen eine Reihe anzugeben für die die Aussage nicht gilt, was ungewiss ja gemacht hat Augenzwinkern

Bei der 2) hab' ich nun versucht den Beweis aufzuschreiben, komm' aber nicht bis zum Ende, da ich nicht weiß was mir die Beschränktheit der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang bringt. Der einzige Nutzen könnte höchstens der sein, dass ich nun weiß dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nach Bolzano W. nun eine konvergente Teilfolge besitzt. Aber bringt einen das hier weiter? verwirrt

20.12.2009, 18:19

giles

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Moritz87
Bei der 2) hab' ich nun versucht den Beweis aufzuschreiben, komm' aber nicht bis zum Ende, da ich nicht weiß was mir die Beschränktheit der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang bringt. Der einzige Nutzen könnte höchstens der sein, dass ich nun weiß dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nach Bolzano W. nun eine konvergente Teilfolge besitzt. Aber bringt einen das hier weiter? verwirrt

Benutz doch mal die Definition von Beschränktheit.

$\begin{eqnarray*} \exists K\in \mathbb{R} : | b_n |\leq K : \forall n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

damit lässt sich doch arbeiten.

20.12.2009, 20:03

Moritz87

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja klar doch. Hab' nun den Betrag einfach umgeschrieben und verwendet dass der Betrag von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ per definition kleiner gleich K sein muss und schon stand's da Tanzen

Also vielen Dank für eure ganzen Antworten. Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen smile

Neue Frage »

Antworten »

Frage zu Reihen

Verwandte Themen