[Artikel] Spiegelung an Gerade und Hyperebene

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20.12.2009, 12:41

tigerbine

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[Artikel] Spiegelung an Gerade und Hyperebene

Dieser Artikel ist eine Zusammenstellung aus diesem Thread.

Vielen Dank an Leopold! Blumen

20.12.2009, 12:42

tigerbine

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Spiegelung an einer Geraden

Zitat:

Original von Leopold

Man kann das Problem gleich allgemein lösen.

1. Nehmen wir zunächst eine Ursprungsgerade

$\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = 0 \ \ \text{mit} \ \ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} > 0 \end{eqnarray*}$

An dieser soll gespiegelt werden. Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e}_2 \end{eqnarray*}$ bei dieser Spiegelung. Um $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ zu spiegeln, fällen wir das Lot auf die Spiegelachse:

$\begin{eqnarray*} -s_2 x_1 + s_1 x_2 = -s_2 \end{eqnarray*}$

Den Schnitt von Spiegelachse und Lot erhält man z.B. mit der Cramerschen Regel für das durch die beiden Geradengleichungen bestimmte lineare Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \vec{p} = \frac{1}{s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} \\ - s_1 s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bild von $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ bei der Geradenspiegelung ist also (Punktspiegelung am Schnittpunkt)

$\begin{eqnarray*} \vec{f}_1 = 2 \, \vec{p} - \vec{e}_1 = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} \\ -2 s_1 s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mit derselben Methode erhält man als Bild von $\begin{eqnarray*} \vec{e}_2 \end{eqnarray*}$ den Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{f}_2 = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} -2 s_1 s_2 \\ s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Abbildungsmatrix für die gesamte Spiegelung ist also

$\begin{eqnarray*} S = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} & -2 s_1 s_2 \\ -2 s_1 s_2 & s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Jetzt der allgemeine Fall, die Spiegelung an der Geraden

$\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = t \ \ \text{mit} \ \ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} > 0 \end{eqnarray*}$

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\begin{eqnarray*} s_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann verschiebt man das Problem mit Hilfe des Vektors

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{t}{s_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in den Ursprung und nach vollendeter Spiegelung wieder zurück. Die Abbildungsgleichung ist also

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = S \cdot \left( \vec{x} - \vec{v} \right) + \vec{v} = S \cdot \vec{x} + \vec{v} - S \vec{v} \end{eqnarray*}$

Faßt man die konstanten Teile zusammen, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \vec{w} = \vec{v} - S \vec{v} = \frac{2t}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Abbildung ist also mit $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ wie oben definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = S \vec{x} + \vec{w} \end{eqnarray*}$

Man kann das nun mit der Blockmatrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} S & \vec{w} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und den um eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ergänzten Spalten

$\begin{eqnarray*} \vec{x}^{\, *} = \begin{pmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{y}^{\, *} = \begin{pmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec{y}^{\, *} = A \cdot \vec{x}^{\, *} \end{eqnarray*}$

Und dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist es, was in der Aufgabe zu bestimmen ist. Ausgeschrieben lautet $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{ s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2}} \begin{pmatrix} s_2^{\, 2} - s_1^{\, 2} & -2 s_1 s_2 & 2ts_1 \\ -2 s_1 s_2 & s_1^{\, 2} - s_2^{\, 2} & 2ts_2 \\ 0 & 0 & s_1^{\, 2} + s_2^{\, 2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschreibt die Spiegelung an der Geraden $\begin{eqnarray*} s_1 x_1 + s_2 x_2 = t \end{eqnarray*}$ vollständig.

Das war natürlich etwas viel Aufwand, weil ja beim konkreten Beispiel die Spiegelachse eine besonders schöne Lage hat und man mit ein paar Symmetriebetrachtungen gleich am Ziel ist. Auf der anderen Seite ist das Problem jetzt allgemein gelöst ...

20.12.2009, 12:43

tigerbine

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Spiegelung an einer Hyperebene

Zitat:

Original von Leopold
Für die Spiegelung an einer Hyperebene $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gibt es eine allgemeine Lösung (Max Koecher, Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer 1983, Seite 174). Ich schreibe das Standardskalarprodukt zweier Vektoren als Multiplikation. Hat dann $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ , so beschreibt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ \vec{y} = \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Wenn man die Formel einmal hat, ist es nicht mehr schwer, dies zu verifizieren. Man muß ja zwei Dinge zeigen: Die Verbindungsgerade von Urbild und Bild steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und wird von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ halbiert.

Das erste ist trivial. Man bringt einfach $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und liest daraus die lineare Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \vec{y} - \vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ ab. Und beim zweiten ist $\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \vec{z} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \vec{z} = \frac{1}{2} \left( \vec{x} + \vec{y} \right) \end{eqnarray*}$ nachzuweisen. Und auch das ist ein Einzeiler:

$\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \vec{z} = \frac{1}{2} \, \vec{s} \left( \vec{x} + \vec{y} \right) = \frac{1}{2} \, \vec{s} \left( 2 \, \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \right) = \vec{s} \, \vec{x} - \frac{\vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s}^{\ 2} = \vec{s} \, \vec{x} - \vec{s} \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Im Spezialfall $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ erhält man daraus gerade die Formeln meines vorigen Beitrages.

20.12.2009, 12:44

tigerbine

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Weiteres zu Spiegelung an einer Hyperebene

Zitat:

Original von Leopold
Dann ergänzen wir das noch um eine Herleitung und geben alles zur Veröffentlichung in einem Workshop frei. Da darf dann auch noch mein Name daruntergesetzt werden.

Wir identifizieren Punkte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit ihren Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ und betrachten im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die Hyperebene

$\begin{eqnarray*} H: \ \ \vec{s} \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ als Normalenvektor. Nun spiegeln wir $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ . Dazu fällen wir zunächst das Lot $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \ \vec{x} = \vec{p} + \lambda \, \vec{s} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und schneiden es mit $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{s} \, \left(\vec{p} + \lambda \, \vec{s} \right) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \vec{s} \, \vec{p} + \lambda \, \vec{s}^{\ 2} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda = \lambda_0 = - \frac{\vec{s} \, \vec{p}}{\vec{s}^{\ 2}} \end{eqnarray*}$

Mit diesem konkret berechneten $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ gehen wir in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und bestimmen den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{r} = \vec{p} + \lambda_0 \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ wird nun an $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ punktgespiegelt. Der Bildpunkt ist $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \vec{q} = 2 \vec{r} - \vec{p} = 2 \left( \vec{p} + \lambda_0 \, \vec{s} \right) - \vec{p} = \vec{p} + 2 \lambda_0 \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

Jetzt benennen wir $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ um, und erhalten, den Wert für $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ einsetzend, für die Spiegelung an $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Abbildungsgleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, geht die Rechnung "geradeaus", wenn man das aus der Schule bekannte Verfahren zur Spiegelung mit allgemeinen Größen durchführt.

Jetzt noch die Abbildungsmatrix. Mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} s_1,s_2,\ldots,s_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ definieren wir die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} S = \left( s_i s_j \right)_{1 \leq i,j \leq n} \end{eqnarray*}$

Ferner sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -reihige Einheitsmatrix. Dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} \left( \vec{s} \, \vec{x} \right) \vec{s} = S \, \vec{x} \end{eqnarray*}$ (das sieht man sofort, wenn man die Koordinaten beider Seiten durchgeht)

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \left( E - \frac{2}{\vec{s}^{\ 2}} \ S \right) \vec{x} \end{eqnarray*}$

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