Dimension und Basis eines Vektorraums

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hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Basis eines Vektorraums
Hallo,
bei folgender Aufgabe finde ich leider keinen richtigen Ansatz:
Sei .
a) Bestimmen Sie die Dimension von V.
b) Geben Sie eine Basis von V an.
Leider weiß ich nicht so richtig wie ich hier vorgehen muss, da der Vektorraum Funktionen als Elemente enthält.
Ich weiß, dass der Vektorraum alle K-linearen Funktionen enthält, die vom in den abbilden, sowie dass der Vektor (1,1,1,1) auf den Nullvektor abgebildet wird.
Wie bestimme ich nun als erstes die Dimension dieses Vektorraum?

Gruß Matthias
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst jede lineare Abbildung bezüglich 2er Basen als Matrix darstellen. Sprich, du hast Matrizen



mit




Versuche so Abhängigkeiten der einzelnen Matrixeinträge herzuleiten. Du wirst einige freie Parameter haben. Diese bestimmen die Dimension.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Also häte ich

Und daraus würde folgen:


Also hätte ich demnach 6 freie Parameter und die Dimension des Vektorraums wäre 6?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also hätte ich demnach 6 freie Parameter und die Dimension des Vektorraums wäre 6?


Ganz genau.
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte ich auch einfach argumentieren dass die Dimension von V 6 sein muss, da gilt . Ich weiß dass der Kern 4-dimensional ist und das Bild 2 dimensional.
Bei Aufgabenteil b) muss ich nun eine Basis angeben, das heißt ich muss nun 6 linear unabhängige Vektoren finden?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Könnte ich auch einfach argumentieren dass die Dimension von V 6 sein muss, da gilt .


Dann bräuchtest Du eine Abbildung



Also eine lineare Abbildung, die lineare Abbildungen auf lineare Abbildungen abbildet Big Laugh . (das geht durchaus!). Andernfalls würdest Du so nur zeigen das

die Dimension 4 hat, was ja sowieso klar ist.

Zitat:
Ich weiß dass der Kern 4-dimensional ist und das Bild 2 dimensional.


Der Kern wovon ? Wenn der Kern einer linearen Abbildung vierdimensional ist, kann das Bild nur noch Dimension 0 haben. Du musst darauf achten von welcher Abbildung du den kern betrachtest.

Zitat:
Bei Aufgabenteil b) muss ich nun eine Basis angeben, das heißt ich muss nun 6 linear unabhängige Vektoren finden?


Ja, das ist nicht schwer. Machs wie üblich, viele Nullen und wenig einsen.
 
 
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich hätte es jetzt so gemacht:


Ist das richtig so?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eine Basis des VR. Sollt ihr auch zeigen das es sich um eine Basis handelt?
hydendyden Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich nicht sagen, steht nicht in der Aufgabe, aber dafür muss ich ja einfach nur lineare Unabhängigkeit nachweisen und ziegen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt. Das bekomme ich alleine hin. Vielen Dank für deine Hilfe.
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