Beweis: (1 + 1/n)^n ist begrenzt

20.12.2009, 14:42

Leye

Beweis: (1 + 1/n)^n ist begrenzt

Hallo,

ich mache ein Referat über die Folge (a_n), a_n = (1 + 1/n)^n. Ist wohl so ein Standard-Thema in Mathe. Augenzwinkern

Hier muss ich vor allem beweisen, dass (a_n) konvergent ist. Dazu beweise ich die Monotonie und die Beschränktheit.

Einen Beweis für die Monotonie hab ich schon, allerdings fällt mir der Beweis für die Beschränktheit schwer. Habe schon in mehreren Mathe-Büchern nachgelesen, in denen aber immer der binomische Lehrsatz und Abschätzen usw. vorkommt. Da das Referat aber in der Schule ist, soll ich eine "einfachere" Methode nehmen. Habe auch schon meine Lehrerin gefragt, ob ich denn die Folge (b_n), b_n = (1 + 1/n)^(n+1) mit einbringen könnte, aber sie meinte, es gäbe noch eine andere Methode.

Jetzt habe ich schon eine Weile gesucht und gesucht, aber nichts besseres finden können als den Beweis mit der zweiten Folge, die monoton fallend ist. Möchte deshalb mal hier nachfragen, ob jemand einen Beweis mit vollständiger Induktion oder Ähnliches kennt.

Falls ich einfach nichts anderes finde, werde ich wohl doch den Beweis mit der Folge (b_n) einführen. Hier hätte ich noch eine Frage zu meinem Beweis der Monotonie:

Nach dem Umformen habe ich den Term

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^2})^n \times (\frac{n+1}{n}) \end{eqnarray*}$

Darauf wende ich die Bernoullische Ungleichung an:

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^2})^n \times (\frac{n+1}{n}) > (1 - \frac{1}{n}) \times (\frac{n+1}{n}) \end{eqnarray*}$

Ist es nun eigentlich richtig, wenn ich das letzte Produkt in $\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$ umforme und damit gezeigt ist, dass es immer kleiner als 1 ist?

20.12.2009, 16:50

diemensch

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wie wärs mit vermutung aufstellen,z.b. durch ausprobieren hoher zahlen und dann zu zeigen dass
a_n>bzw.<deiner vermutung ist

20.12.2009, 17:37

Leye

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Als obere Schranke könnte ich zum Beispiel 3 einsetzen, aber einfaches "Ausprobieren" und "Sehen" wird meine Lehrerin wohl nicht als Beweis annehmen.

Ich würde immer noch zur Methode greifen, eine weitere Folge b_n aufzustellen und zu zeigen, dass sie monoton fallend ist. Dann zeigen, dass a_n < b_n, sodass b_1 > b_n > a_n und b_1 eine Schranke von a_n ist. Nur bräuchte ich noch Hilfe bei dem Beweis, dass b_n monoton fallend ist.

20.12.2009, 19:22

Leye

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Ich habe hier mal meine Beweise zusammengefasst. Wie aber gesagt, bin ich mir beim Beweis der Beschränktheit nicht ganz sicher. Kann es sich vielleicht mal jemand anschauen?

Monotonie: http://dl.dropbox.com/u/951334/Monoton.pdf
Beschränktheit (mit der Folge b_n): http://dl.dropbox.com/u/951334/Beschr%C3%A4nkt.pdf
a_n ist kleiner als b_n: http://dl.dropbox.com/u/951334/Kleiner.pdf

EDIT
Never mind, ich hab einen neuen Beweis gemacht, der nicht so einschränkend wie der erste ist. Wäre trotzdem nett, wenn sich jemand Beschränktheit.pdf noch anschaut, hab ich da zu sehr abgeschätzt? Oder gibt es sonst Fehler?

21.12.2009, 00:15

Eierkopf

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Zitat:

Original von Leye
..., aber einfaches "Ausprobieren" und "Sehen" wird meine Lehrerin wohl nicht als Beweis annehmen.

Exemplifizieren, also ein Beispiel geben, besitzt im geeigneten Fall jede mathematische Exaktheit!!! - Schönen Gruß an Deine Lehrerin, der ich das auch genauer erklären kann.

21.12.2009, 07:08

Airblader

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@Eierkopf / Leye

Ich weiß nun nicht, wo genau der Einwand ist, darum stelle ich einfach klar:
Eine Vermutung darf immer vom Himmel fallen, und zwar völlig. Solange du sie beweist, war das mathematisch vollkommen korrekt.
Es spricht nichts dagegen, durch scharfes Hinsehen eine Vermutung zu bekommen, solange du sie beweist.

Da du nur Konvergenz zeigen sollst, kannst du jede beliebige Schranke nehmen, um Beschränktheit zu zeigen, da es ja nicht dein Ziel ist, den Grenzwert irgendwie möglichst genau abzuschätzen o.ä.
(Im Übrigen sollte man diesen Grenzwert durchaus kennen, da er fundamental wichtig ist und darum ist auch die Aufgabe "so beliebt" Augenzwinkern

).

@ Leye

Habe gleich AnaI-Klausur, kann es mir jetzt also nicht zu genau anschauen. Evtl. kann ich das heute Nachmittag / Abend machen.

air

21.12.2009, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leye
Wäre trotzdem nett, wenn sich jemand Beschränktheit.pdf noch anschaut, hab ich da zu sehr abgeschätzt? Oder gibt es sonst Fehler?

Bei diesem Beweis habe ich nicht verstanden, was du zeigen willst. Anscheinend, daß $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} < 1 \end{eqnarray*}$ ist. Aber dann schätzt du diesen Ausdruck nach unten ab, wodurch die Ungleichungskette gebrochen ist.

Die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac 1 n \right)^n \end{eqnarray*}$ kann man mittels der binomischen Formel nachweisen. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac 1 n \right)^n = \sum_{k=0}^n~\binom n k 1^{n-k} (\frac 1 n)^k = \sum_{k=0}^n~\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

Nach dem Rauskürzen von (n-k)! kann man die Summanden nach oben mit 1/k! abschätzen.

21.12.2009, 11:38

Airblader

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@klarsoweit:

Zitat:

Habe schon in mehreren Mathe-Büchern nachgelesen, in denen aber immer der binomische Lehrsatz und Abschätzen usw. vorkommt. Da das Referat aber in der Schule ist, soll ich eine "einfachere" Methode nehmen.

air

21.12.2009, 14:09

diemensch

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ich verstehs nicht das problem ^^
du mussst NUR zeigen dass a_n konvergiert also zeig einfach dass die gleichung a_n<,>k ( $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) zu einem ergebnis kommt,ausdem du die konvergenz interpretieren kannst.

21.12.2009, 14:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Bei diesem Beweis habe ich nicht verstanden, was du zeigen willst. Anscheinend, daß $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} < 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Noch eine Ergänzung:
Offensichtlich willst du zeigen, daß die Folge (b_n) monoton fällt. Geschickter ist es, dieses zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{b_n}{b_{n+1}} > 1 \end{eqnarray*}$

Das umgeformt: $\begin{eqnarray*} \frac{\left(1 + \frac{1}{n-1} \right)^n}{\left(1 + \frac 1 n \right)^{n+1}} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n-1} \right)^n}{\left(1 + \frac 1 n \right)^n} \cdot \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Noch etwas umformen und dann geht auch wieder die Bernoullische Ungleichung.

@diemensch: was du sagen willst, habe ich nicht verstanden.

21.12.2009, 15:49

Airblader

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Zitat:

Original von diemensch
ich verstehs nicht das problem ^^
du mussst NUR zeigen dass a_n konvergiert also zeig einfach dass die gleichung a_n<,>k ( $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) zu einem ergebnis kommt,ausdem du die konvergenz interpretieren kannst.

Es geht eben darum, die Beschränktheit "nur" zu zeigen, ohne den binomischen Lehrsatz zu verwenden. Und "nur" das scheint halt nicht so einfach.

Im Übrigen kann man "nur" aus der Beschränktheit nicht auf Konvergenz schließen.

air

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