konvergenzarten für Zufallsvariablen

20.12.2009, 16:41	zozo	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenzarten für Zufallsvariablen Guten Tag Ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge von Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} (\omega,A,P) \end{eqnarray}$ zeigen Sie , dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Es existiert eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_ n\rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ P-fast sicher. (ii) $\begin{eqnarray} (X_n)_n\in{N} \end{eqnarray}$ ist eine Cauchyfolge bezüglich fast sicherer Konvergenz, d.h. $\begin{eqnarray} P({\omega; (X_n(\omega))_{n\in{N}}}\subset R \end{eqnarray}$ ist Cauchyfolge $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ . (iii) Für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ 0 gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow{\infty}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\{ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sup_{k>=1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_{n+k}-X_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geqq{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \})=0 \end{eqnarray}$ .
20.12.2009, 16:43	zozo	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag Ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge von Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} (\Omega,A,P) \end{eqnarray}$ zeigen Sie , dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Es existiert eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_ n\rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ P-fast sicher. (ii) $\begin{eqnarray} (X_n)_n\in{N} \end{eqnarray}$ ist eine Cauchyfolge bezüglich fast sicherer Konvergenz, d.h. $\begin{eqnarray} P({\omega; (X_n(\omega))_{n\in{N}}}\subset R \end{eqnarray}$ ist Cauchyfolge $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ . (iii) Für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ 0 gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow{\infty}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\{ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sup_{k>=1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_{n+k}-X_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geqq{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \})=0 \end{eqnarray}$ .
20.12.2009, 17:49	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du keine eigenen Ansätze? Nimm doch mal an, (i) gilt. Was ist dann der Fall? Schreib das doch mal mathematisch auf und vergleiche mit (ii) und (iii).
20.12.2009, 19:17	zozo	Auf diesen Beitrag antworten »

20.12.2009, 19:46	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe doch, dass du unser Boardprinzip kennst. Komplettlösungen gibt es nicht. Du musst selber mitmachen, helfen werde ich dir gerne. Zumal alles aus den Definitionen folgt, wie ich das sehe. Also, schreib es auf: Was heisst es, wenn X P-fast sicher konvergiert?
20.12.2009, 20:04	zozo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kenne nur Def. P fast sicher: $\begin{eqnarray} p(\omega:\lim_{n\rightarrow\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_n(\omega)=X(\omega) \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ und dann was soll ich machen mit Cauchyfolge
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20.12.2009, 22:35	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist doch richtig! Was jetzt? Ist die Folge $\begin{eqnarray} X_n: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auch eine Cauchyfolge? Ich denke mal, dass der Wertebereich der ZV die reellen Zahlen (evtl. positiv) sind. Wie ist der Zusammenhang zwischen (punktweise) konvergenten Folgen und Cauchyfolgen in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ? Wenn du das beantworten kannst, hast du auch sofort die Argumentation für (i) => (ii), (i) => (iii) bzw. (ii) => (iii)

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