Inklusionssatz

20.12.2009, 19:34	Qwerasdf	Auf diesen Beitrag antworten »
Inklusionssatz Hi, ich habe begriffliche Schwierigkeiten mit dem Inklusionssatz. Der Inklussionssatz soll ja aussagen, dass eine zwischen zwei gleichmächtigen Mengen $\begin{eqnarray} N \subseteq M \end{eqnarray}$ eingeschobene Menge $\begin{eqnarray} N' \end{eqnarray}$ ebenfalls gleichmächtig bzgl. der anderen Mengen ist. Also: $\begin{eqnarray} N, M, N` \end{eqnarray}$ sind alle gleichmächtig mit $\begin{eqnarray} N \subseteq N' \subseteq M \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gleichmächtig sind. Erstes Problem: Müsste nicht folgen, dass $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gleich sind? Also nicht nur in ihrer Mächtigkeit? Gerade eben, weil sie gleichmächtig sind und die eine Menge Teilmenge der anderen ist? Bsp.: $\begin{eqnarray} \left\{ 1,2\right\} \end{eqnarray}$ hat die Mächtigkeit zwei, alle Teilmengen sind $\begin{eqnarray} \left\{ \emptyset\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left\{ 1,2\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \left\{ 1\right\} \end{eqnarray}$ . Darunter ist ja nur eine Teilmenge, die gleichmächtig zur Ausgangsmenge ist, und das ist die Ausgangsmenge selbst. Wenn man $\begin{eqnarray} \mathbb N ,\mathbb R \end{eqnarray}$ betrachtet mag das was anderes sein (also bei unendlichen Mengen), aber soweit bin ich glaub ich noch nicht, oder lässt sich der Inklussionssatz nur auf unendliche Mengen anwenden? Wäre sehr dankbar für Hilfe. mfg
20.12.2009, 20:02	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei endlichen Mengen folgt in der Tat Gleichheit. Interessant wird der Satz erst bei unendlichen Mengen
20.12.2009, 20:14	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfaches Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} 4 \mathbb Z \subset 2 \mathbb Z \subset \mathbb Z \end{eqnarray}$ obwohl alle beteiligten Mengen gleichmächtig sind...
20.12.2009, 22:59	Qwerasdf	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das hilft bei der Veranschaulichung schonmal ungemein. Nun zum Beweis: Um das zu beweisen schreibe ich den Satz äquivalent um. A, B, C sind paarweise disjunkte Mengen. Aus $\begin{eqnarray} \|A \cup B \cup C\| = \|A\| \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} \|A \cup B \cup C\| = \|A \cup B\| \end{eqnarray}$ folgen. Aus $\begin{eqnarray} \|A \cup B \cup C\| = \|A\| \end{eqnarray}$ kann man ja zunächst mal erkennen, dass eine Funktion "erzeugt wird", die bijektiv ist. $\begin{eqnarray} f: A \cup B \cup C -> A \end{eqnarray}$ Daraus soll man folgern, dass eine Funktion $\begin{eqnarray} h: A \cup B \cup C -> A \cup B \end{eqnarray}$ existiert, die auch bijektiv ist. Zweites Problem: Das zweite Problem habe ich beim Nachvollzug des Beweises. Der Beweis fängt damit an $\begin{eqnarray} C = C_0 \end{eqnarray}$ zu setzen und rekursiv $\begin{eqnarray} C_{n+1} = f''C_n \end{eqnarray}$ zu definieren. Ich schreib mal wie ich diesen Schritt verstehe. Falls ich das falsch verstanden habe, kann man mich ja mal darauf hinweisen, da es wohl an irgendwas liegen muss, dass ich den Beweis nicht nachvollziehen kann: Obiges heißt also, dass $\begin{eqnarray} C_0 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgebildet wird, das Bild von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ wird dann ebenfalls durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ abgebildet; dessen Bild heißt dann $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ und diese Prozedur wird dann unendlich oft wiederholt. Man kann durch Induktion beweisen, dass $\begin{eqnarray} C0, C1, C2 \end{eqnarray}$ etc. paarweise disjunkt sind. Anschließend wird die Vereinigung der ganzen so entstandenen $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ s betrachtet und zunächst einmal als $\begin{eqnarray} C^ \end{eqnarray}$ gesetzt: $\begin{eqnarray} C^* = \bigcup _{ n\in \mathbb N} C_n \end{eqnarray*}$ Zwischenfragen: Warum wird C öfter als nur einmal auf A abgebildet? Wieso wird die Abbildung von A und B nicht betrachtet? Kann man C und A auf A abbilden weil A unendlich groß sein muss?

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