abelscher Körper? |
| 20.12.2009, 23:16 | crystaly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| abelscher Körper? ich habe mal eine Frage zu Körpern: Wir hatten in der Vorlesung definiert, dass ein Körper bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe ist und bzgl. der Multiplikation eine Gruppe. Wenn die Multiplikation auch abelsch ist, dann heißt der Körper abelscher Körper. Jetzt sollen wir auf nem Übungszettel was in einem Vektorraum beweisen. Da ich mir nicht mehr sicher war, ob ein Körper bzgl. der Multiplikation abelsch ist, hab ich kurz im Internet geschaut, doch da sehe ich überall nur, dass Körper immer abelsch bzgl. der Multplikation sind. Was stimmt denn jetzt? |
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| 20.12.2009, 23:35 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: abelscher Körper? das ist in nahezu jeder literatur nachzulesen: ein körper ist ein nullteilerfreier kommutativer ring mit einselement und es wird die existenz von multiplikativ inversen gefordert, ein ring ist eine abelsche gruppe bezüglich der addition und es gilt das assoziativgesetz der multiplikation sowie die distributivgesetze; also in einem körper gilt das kommutativgesetz sowohl für die addition als auch für die multiplikation, es gelten die assoziativgesetze für beide verknüpfungen und es ist bei beiden verknüpfungen sowohl die existenz eines neutralen elementes als auch die eines inversen gefordert, die gruppen bzgl. addition und multiplikation sind also kommutativ, also abelsch. um zu zeigen, was für eine struktur ein vektorraum ist, vergleiche zuerst die vektorraumaxiome mit den körperaxiomen, alles, was in beiden Strukturen gefordert ist braucht nicht nachgewiesen zu werden. dann mach dir gedanken, wie das nullelement eines vektorraums aussieht und überlege, ob dieser nullteilerfrei ist; ebenso kann man überlegen, ob es für alle elemente multiplikativ inverse gibt. |
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| 20.12.2009, 23:40 | crystaly | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay danke dann ist also auch jeder körper bzgl. der Multiplikation abelsch. Wir sollen nicht beweisen, dass V ein Vektorraum ist, sondern was mit dem Vektor-Produkt. Das ist hab ich dann aber auch schon fertig, wenn ich das Kommutativ-Gesetz im Körper anwenden darf. Vielen Dank für die schnelle Antwort crystaly kann geschlossen werden. |
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| 21.12.2009, 00:11 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Verwendung der Begriffe «abelscher Körper» bzw. «nichtabelscher Körper» (in Anlehnung an Gruppenbegriffe) sehe ich hier zum ersten Mal, sie ist total ungebräuchlich, aber sie würde tatsächlich besser in die Systematik passen, als die historisch gewachsenen «Körper» bzw. «Schiefkörper». |
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| 21.12.2009, 08:56 | Tarnfara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht ! Was ein "abelscher" Körper ist und was nicht, ist eine Definitionsfrage, wie du richtig festgestellt hast. Dein Prof. hat es so definiert, wie in deinen Unterlagen steht und genauso musst du es dann auch bearbeiten. Eure Definition ist nicht weit verbreitet, aber durchaus üblich (wir verwenden die auch). Wenn jeder Körper abelsch ist, würde eine solche Unterscheidung auch keinen rechten Sinn machen, meiner Meinung nach. Das wird dir noch öfter passieren, in einem Buch ist der Grad des Nullpolynoms -1, im anderen -unendlich, usw. Grüße |
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| 21.12.2009, 09:07 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: abelscher Körper?
Nein ! Diese "Rechengesetze" zwingen nicht, dass die Multiplikation abelsch ist. Ein "Körper", bei dem die Multiplikation nicht abelsch ist, nennen die Meisten "Schiefkörper". Es ist aber ein berühmtes Resultat [Satz von Wedderburn], dass jeder endliche Schiefkörper ein Körper ist, das heisst ein Ding, das alle Rechengesetze eines Körpers erfüllt aber nicht abelsch ist, dann muss die Grundmenge des Dinges unendlich sein. Also erzwingen die Körperaxiome die Kommutativität der Multiplikation nur bei endlichen Grundmengen. Als Gegenbeispiel im unendlichen Fall seien die Quaternionen genannt. Wenn jemand Körper sagt, dann meint er normalerweise, dass alles kommutativ ist. Ausser dein Professor hat es anders definiert, dann musst du bei ihm ein bischen aufpassen. Manche Leute nennen einen "Vektorraum" über einem Schiefkörper auch "Schiefvektorraum". |
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