2 Normalverteilungen in eine umrechnen

21.12.2009, 09:01	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Normalverteilungen in eine umrechnen Hallo! Ich habe eine Aufgabe mit 2 Normalverteilungen: In einem Unternehmen arbeitet 30% des Personals Vollzeit, der Rest Halbzeit. Ein Vollzeitangestellter hat einen Monatslohn N(28700,5000), ein Halbzeitangestellter hat einen Monatslohn N(13100,2150). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass willkürlich ausgewählter Angestellter mehr als 20000 im Monat verdient? (Die Zahlen stimmen, es ist nur eine andere Währung, also kein Euro, spielt aber ja keine Rolle). Ich habe gerechnet: $\begin{eqnarray} X_{1} \in N(28700,5000) \end{eqnarray}$ mit a=0,3 $\begin{eqnarray} X_{2} \in N(13100,2150) \end{eqnarray}$ mit b=0,7 $\begin{eqnarray} X_{1},X_{2} \end{eqnarray}$ sind unabhängig Frage: $\begin{eqnarray} P(X_{3}>20000)=? \end{eqnarray}$ Erwartungswert: $\begin{eqnarray} E(aX_{1}+bX_{2})=aE(X_{1})+bE(X_{2})=0,3\cdot 28700+0,7\cdot 13100=17780=E(X_{3}) \end{eqnarray}$ Standardabweichung: $\begin{eqnarray} V(aX_{3}+bX_{2})=a^2V(X_{1})+b^2V(X_{2})=0,3^2\cdot5000+0,7^2\cdot2150=1503,50=V(X_{3}) \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} X_{3}\in N(17780,1503.5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{3}>20000)=1-P(X_{3}\leq 20000)=1-\Phi(\frac{20000-17780}{1503,5} )=1-\Phi(1,48)=1-0,9306=0,0694=7% \end{eqnarray}$ Das erscheint mir aber sehr wenig! Immerhin arbeiten 30% Vollzeit und haben selbst wenn man die einfache Standardabweichung mit einrechnet einen Lohn zwischen 23700 und 33700, also über 20000 ... Wo liegt (liegen) mein(e) Fehler??? Vielen Dank und viele Grüsse, Jana
21.12.2009, 14:12	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Normalverteilungen in eine umrechnen Du bist also an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass ein willkürlich ausgewählter Mitarbeiter mehr als 20000 verdient. Also an der Wahrscheinlichkeit, dass du einen Vollzeitbeschäftigten auswählst und dieser mehr als 20000 verdient + die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Halbzeitbeschäftigten auswählst und dieser mehr als 20000 verdient. Sei $\begin{eqnarray} X_3 \end{eqnarray}$ die ZVe, die angibt was für einen angestellten du erwischst, also $\begin{eqnarray} P(X_3 = vollzeit) = 0,3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_3 = halbzeit) = 0,7 \end{eqnarray}$ Damit bist du an: $\begin{eqnarray} P((X_3 = vollzeit,~ X_1 > 20000)~oder~(X_3 = halbzeit,~ X_2 > 20000)) \end{eqnarray}$ interessiert. Nun verwende die offensichtlichen unabhängigkeiten.
30.12.2009, 10:53	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(X_{1} >20000)=1-P(X_{1} \leq 20000)=\Phi(1.74)=0.9591 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{2} >20000)=1-P(X_{2} \leq 20000)=1-\Phi(3.21)=0.0007 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(X_{3}=Vollzeit) \cap P( X_{1}>20000)+P(X_{3}=Halbzeit) \cap P( X_{2}>20000)=0.3\cdot 0.9591+0.7\cdot 0.0007=0.2882 \end{eqnarray}$ Die Wahrscheinlichkeit, einen willkürlich ausgewählten Angestellten zu erwischen, der mehr als 20000 im Monat verdient, ist also 28.82%. Von der Grössenordnung erscheint mir das auf jeden Fall als richtig.

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