Exponentialverteilung: Chance, dass 90 Glühbirnen 100 Jahre reichen

21.12.2009, 11:31	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung: Chance, dass 90 Glühbirnen 100 Jahre reichen Hallo! Ich habe eine Aufgabe: In einer Werkstatt hat man Lampen mit Glühbirnen, deren Lebensdauer unabhängig sind und die exponentialverteilt ist mit Parameter 1 Jahr. In einem Raum gibt es nur eine Glühbirne, die sobald sie kaputt geht, ersetzt wird. Was ist die (approximative) Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Raum 90 Glühbirnen für 100 Jahre reichen? Ich habe eigentlich keine Ahnung, wie ich beginnen soll. Vor allem habe ich keine Ahnung, wie ich diese 90 Glühbirnen verwursten soll in ein neues Lambda... Ansonsten wäre die Formel wohl $\begin{eqnarray} P(X\geq100)=1-P(X<100)=1-F(100) \end{eqnarray}$ . Ich habe dann versucht, statt der 90 Glühbirnen in 100 Jahren das auf eine Glühbirne umzurechnen, die länger als $\begin{eqnarray} \frac{100}{90} =1,11 \end{eqnarray}$ Jahre brennt. Dann hätte ich $\begin{eqnarray} P(X\geq1.11)=1-P(X<1.11)=1-F(1.11)=1-0,67=0,33 \end{eqnarray}$ Das Ergebnis an sich erscheint mir möglich, aber der Rechenweg ist sicherlich nicht in Ordnung. Viele Grüsse, Jana
21.12.2009, 12:19	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich das sehe, benötigst du die Verteilung der Summe von den 90 ZV. Sagt dir die Tatsache etwas, dass die Summe von n Exponentailverteilungen gammaverteilt ist mit Parameter n und Lambda? Dann würde deine erste Formel sofort greifen.
30.12.2009, 12:24	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir leid, aber ich habe noch nie etwas von einer Gammaverteilung gehört und mit dem, was ist hier im Forum dazu finde oder auch im Internet, komme ich leider nicht weiter :-(. edit: Ich bin übrigens bei der Erlangverteilung gelandet. Aber da ist bei F(X) ja eine Summe in der Formel mit i=0 bis n-1. Ich kann doch nicht 100 Summanden aufaddieren müssen, oder???
31.12.2009, 11:56	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe, doch. Könntest du auch mit einem CAS machen, oder die Summe einfach stehen lassen. Vielleicht zielt die Aufgabe auch nur darauf ab, dass du auf die Erlang- oder Gammeverteilung kommst.
02.01.2010, 15:34	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön! Mit dem CAS habe ich es hinbekommen! $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^90 X_{i} \in N(n\cdot \mu,\sqrt{n} \cdot \sigma)=N(90,\sqrt{90} ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(\zeta\geq 100)=1-P(\zeta<100)=1-\Phi(\frac{100-90}{\sqrt{90} } )=1-\Phi(-1.05)=0.8531 \end{eqnarray}$ Richtig? Von der Grössenordnung erscheinen mir 85% auf jeden Fall richtig. Viele Grüsse, Jana
02.01.2010, 15:40	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnerisch mag das schon stimmen, aber sprachen wir nicht von einer erlangverteilten Zufallsvariable? Warum rechnest du jetzt mit einer Normalverteilung?
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02.01.2010, 15:51	JanaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Es war ursprünglich eine exponentialverteilte Zufallsvariable. Und sagt nicht der CAS, dass man jede Verteilung, solange n gross genug ist, mit einer Normalverteilung annähern kann? Und n ist ja hier 90. Und gefragt ist die approximative Wahrscheinlichkeit. Also Näherung erlaubt. Oder?
02.01.2010, 16:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sprichst jetzt vom Zentralen Grenzwertsatz ... Mhh, also ich würde sagen, 90 ist verdammt klein, aber da in der Aufgabe ja steht, dass es approximativ sein soll, geht das wohl in Ordnung.

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