Wertebereich

21.12.2009, 14:38

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

Wertebereich

Hi,

ich habe die Frage, was ich noch lernen muss, um zu wissen, wie die Wertebereiche gelöst werden können. Ich mache Aufgaben, die in einem Buch stehen und die jeweilige Lösung am Ende des Buches kommt.

Um mehr von dem Thema zu verstehen, habe ich schon viele Themen und Videos angeschaut darüber, was Definitions- und Wertebereiche bedeuten. Bei den Definitionsbereich habe ich nicht so viele Problemen, aber bei Wertebereiche kann ich es noch nicht allein machen. Ich weiss schon folgendes:

*Definitionsbereich: Es sind die Werte, die x nehmen kann. Aber bei "f(x) = 1/x "
x darf kein null sein.

*Wertebereich: Es sind die y-werte, die sich durch einsetzen der x-werte in eine formel ergeben. Ja, es ist klar. Aber das sagt mir gar nichts, um zu wissen, wie ich den Wertebereich folgendes Problems schätzen kann:

y = x / x^2 + 1

D: (-00, +00). Ich habe diese Ergebnis Bekommen, weil ich weiss, dass obwohl ich negative Werte in x^2 einsetze, dann wird es automatisch positiv.

die Lösung beim "W:" ist [-0,5; 0,5]. Aber wie komme auf diese Ergebnise? ich habe folgendes versucht:

y = x / x^2 + 1

f '(x)= ( 1 * (x^2 + 1) - (2x+ 0) (x) ) / ( x^2 + 1)^2 =
= ( -x^2 + 1 ) / ( x^2 + 1)^2

aber dann? was mache ich falsch? oder was muss ich nicht machen?

Vielen Dank

21.12.2009, 15:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Naja, nur einsetzen bringt einen doch nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Es kommt nun darauf an, was du schon weißt. Wir haben als Defintionsmenge ganz IR. Grenzwertüberlegungen für GRF bringen sofort den Grenzwert 0 für x gegen +/- oo. Man erkennt auch Symmetrie zum Ursprung. Man kann seine Untersuchungen auf nichtnegative Zahlen beschränken.

Kannst du schon ableiten?

21.12.2009, 15:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich

Zitat:

Original von tigerbine
Kannst du schon ableiten?

Die 1. Ableitung hat mercadom doch hingeschrieben (sogar richtig, soweit ich das erkennen kann).

21.12.2009, 15:10

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Hi,

ich habe folgendes verstanden:

Damit ich auf das Ergebnis vom Wertebereich ankommen, muss ich nicht immer ableiten?

Ja, ich kann ableiten.

Was ich noch nich verstehe ist folgendes: wie hast du diese Grafik gemacht, damit du auf das Ergebnis kommst? oder gint es eine andere Weise, um das Ergebnis von Wertebereich zu kriegen?

21.12.2009, 15:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Sorry. Dann greifen wir das natürlich gleich mal auf.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Wir starten in x=0. Dort ist f(0)=0. Der Grenzwert für x -> +oo ist auch 0. Ferner wissen wir, dass f(x) hier nicht negativ ist und die Funktion ist stetig.

Nun untersuchen wir das Steigungsverhalten. Für x=0 ist die Steigung positiv. Wie lange? Und was passiert dann?

Wo besitzt die Funktion ein lokales Maximum?

Wie kann man prüfen, ob das auch ein globales Maximum ist?

edit: Die Graphik dient nur der Übersicht/Motivation. Mit

habe ich die gemacht. Die ist aber kein Beweis.

21.12.2009, 15:17

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Setze ich verschiedene Werte auf dem Taschenrechner, bekomme ich bei 1 und -1 die maximale Werte, nämlich + und - 0,5.

Gibt es aber bestimmt einen mathematischen Verlauf, um die Ergebnisse zu krigen, oder? ich meine es, damit ich z.B in einer Prüfung verschiedene Werte auf dem Teschenrechner eintippen muss, um den Wertebereich zu kriegen.

Kann ich die Wertebereiche durch Ableitungen kriegen?

Anzeige

21.12.2009, 15:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich

Zitat:

Nun untersuchen wir das Steigungsverhalten. Für x=0 ist die Steigung positiv. Wie lange? Und was passiert dann?

Wo besitzt die Funktion ein lokales Maximum?

Wie kann man prüfen, ob das auch ein globales Maximum ist?

Beantworte doch mal die Fragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.12.2009, 15:19

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Ich habe deine Antwort nicht gesehen, deswegen habe ich das geschrieben. Aber ich lese zuerst deine Antwort.

21.12.2009, 15:27

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Für x=0 ist die Steigung positiv. Wie lange?
1

Und was passiert dann?
wenn man 1 einsetzt, bekommt man 0.
wenn man -1 einsetzt, bekommt man auch 0.
wenn ich andere Werte einsezte, sowhol negative als postivie, liegen die Werte zwischen 0 und 1

Wo besitzt die Funktion ein lokales Maximum?
in 1

Wie kann man prüfen, ob das auch ein globales Maximum ist?
ich weiss nicht, was du hier meinst. Deswegen habe ich keine Antwort geschrieben

21.12.2009, 15:36

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Das ist mir zu sehr rumprobiert. Positive Steigung bedeutet: f'(x) > 0

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}> 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x^2+1> 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +1> x^2 \end{eqnarray*}$

Wir betrachten nur nichtnegative x-Werte!

$\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

=> in [0,1[ positive Steigung.

Keine Steigung

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ => Kandidat für lok. Extremwert

$\begin{eqnarray*} \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x^2+1< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

=> in ]1,+oo[ negative Steigung

=> lok. Maximum bei (1,f(x)) = (1,0.5)

Verstanden?

21.12.2009, 15:42

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Danke für die Antwort.

Bevor ich dir sage, ob ich es verstanden habe oder nicht, will ich gerne deine Antwort nochmal und nochmal lesen und lernen.

21.12.2009, 15:50

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
ich habe deine Antwort schon gelesen und habe ich fast schon alles verstanden. Was ist dennoch mit dem $\begin{eqnarray*} (x^2 +1)^2 \end{eqnarray*}$ passiert?

21.12.2009, 15:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Naja, es ist immer nicht negativ wegen dem ()² und ich habe beide Seiten damit multipliziert, ohne dass sich das Ungleichheitszeichen ändert.

21.12.2009, 16:00

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
ach so. So habe ich es schon verstanden.

Ansonsten, welche Themen sind empfehlenswert nochmal zu lesen, um das richtig verstehen zuu können?

Seit 2 Jähren beschäftige ich mich nicht mit diesem Themen und will nochmal alles erinnern, bevor ich an der FH gehe.

21.12.2009, 16:06

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
wir sind aber noch nicht fertig. Bislang haben wir nur ein lokales Maximum. Du musst noch begründen, dass es auch global ist.

Kurvendiskussion ist der Oberbegriff des Themas.

21.12.2009, 16:15

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Um das zu begründen, erinnere ich, dass ich die Ränder mit Hilfe von untersuchen muss:

lim f(x), wenn x ---> + und - 00, oder?

21.12.2009, 16:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Nein, schlage die Definition des globalen Extremwertes nach.

21.12.2009, 16:29

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
ok. Die Definition lautet so:

Global heißt, dass auf dem ganzen Intervall:
-kein Funktionswert unter dem Extremum liegt, wenn es ein Tiefpunkt ist oder
-kein Funktionswert drüber liegt, wenn es ein Hochpunkt ist.

, aber...wie wird es mathematisch begründet, dass es global ist? ich glaube, ich muss noch viel lernen von diesem Thema.

21.12.2009, 16:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Naja, mann kann das doch schön in eine Formel packen. Oder spielerisch angehen. Ich behaupte es gibt ein positives x, für das f(x) größer als 0.5 ist.

Nun musst du mich widerlegen. Ansatz

$\begin{eqnarray*} f(x) > 0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^2+1} > 0.5 \end{eqnarray*}$

Das führt auf eine quadratische Ungleichung. Da hilft Wissen über Parabeln und quadr. Gleichungen.

Wink

Wink

22.12.2009, 01:10

mercadom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Hi,

ich bicn schon angekommen.

Es scheint, als ob ich es schon verstanden habe aber ich verstehe es noch nicht 100%. Ich versuche heute an der FH, einigen Sachen zu erklären. Deine Erklärung ist super, aber ich habe schon versucht eine andere Übung zu machen und ich bekomme fast dieselbe Probleme. Das bedeutet für mich, dass ich es noch nicht ganz klar habe.

Gibt es andere Weise, um auf das Ergebnis con (0,5; -0,5) anzukommen?

22.12.2009, 01:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wertebereich
Ich hätte im Moment keinen anderen Zugang.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »