Bestimmtes Integral arcsin(x)

21.12.2009, 20:48	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmtes Integral arcsin(x) Hall zusammen! Mir gelingt es einfach nicht das folgende bestimmte Integral zu lösen $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \! arcsin(x) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Schritte sehen bis jetzt wie folgt aus: Zunächst habe ich partielle Integration durchgeführt $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \! 1 \cdot arcsin(x) \, dx = [x \cdot arcsin(x)]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \! x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \end{eqnarray}$ Das wiederum ist: $\begin{eqnarray} \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6} + \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \! x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \end{eqnarray}$ Und hier ist der Punkt, an dem ich nicht weiter weiß, bzw. meine Ansätze mich nicht weiterbringen. Um das übrig gebliebene Integral zu lösen, würde ich normalerweise Substitution anwenden, indem ich $\begin{eqnarray} 1-x^2 \end{eqnarray}$ substituiere, was aber immer wieder dazu führt, dass ich ein Integral mit der arcsin(x)-Funktion bekomme und ich mich daher "im Kreis drehe". Eine weitere partielle Integration "verkompliziert" das Integral nur immer weiter. Könnt ihr mir da weiterhelfen? Danke! Jojo
21.12.2009, 20:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie substituierst du denn? Bei mir kommt was schönes, und sinusfreies raus.
21.12.2009, 21:15	Jojo2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich substituiere $\begin{eqnarray} y=1-x^2 \end{eqnarray}$ und mache dann aus $\begin{eqnarray} \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6} + \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \! x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \end{eqnarray}$ das hier: $\begin{eqnarray} \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6} + \int_1^{\frac{1}{4}} \! \frac{\sqrt{1-y}}{\sqrt{y}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{1-y}}) dy \end{eqnarray}$ das ist wiederum: $\begin{eqnarray} \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6} + \int_1^{\frac{1}{4}} \! \frac{\sqrt{1-y}}{\sqrt{y}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{1-y}}) dy = \frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{6} + \int_1^{\frac{1}{4}} \! (-\frac{1}{2\sqrt{y}}) dy \end{eqnarray}$ Und das kann ich sehr einfach lösen, ich weiß auch nicht wo vorher meine Denkblockade war Trotzdem vielen Dank!

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