Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl

21.12.2009, 22:21

Paul86

Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl

Nabene allerseits,

Realteil und Imaginärteil sind aus folgender komplexen Zahl zu bestimmen

[(1+i)^(n+1)/(1-i)^n] + [(1-i)^(n+1)/(1+i)^n]

Im Voraus schonmal danke für die Unterstützung. Hoff mal des is keine zu schwere Kost zu der späten Stunde..?!

Mfg

21.12.2009, 22:58

Airblader

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Über n ist nichts bekannt?

Zuerstmal kannst du jeweils den (n+1)-ten Faktor rausziehen, die Potenzen dann zusammenfassen und zB sowas machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} = i \end{eqnarray*}$

Dann erhälst du im linken Summanden zB $\begin{eqnarray*} i^n \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$

Insgesamt kommt man auf

$\begin{eqnarray*} i^n \cdot (1+i) + (-i)^n \cdot (1-i) = i^n \cdot\left(1+i + (-1)^n(1-i)\right) \end{eqnarray*}$

Aber obs arg weiterhilft? verwirrt

Edit (Gesamt): So, hier stand eben viel Nützliches und viel Unsinn. Jetzt das Essentielle: Betrachte vier aufeinander folgende Zahlen für n, um i^n entspr. einzuschätzen (d.h. betrachte n modulo 4 - und überlege dir, warum das genügt).

Anmerkung: 8 Edits - was ein Rekord! Big Laugh

air

22.12.2009, 00:09

corvus

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RE: Realteil und Imaginärteil einer komplexen Zahl
^

Zitat:

Realteil und Imaginärteil sind aus folgender komplexen Zahl zu bestimmen

[(1+i)^(n+1)/(1-i)^n] + [(1-i)^(n+1)/(1+i)^n]

nehme mal an, n steht für eine natürliche Zahl .. :
..
dann hat Airblader mit -> :

Insgesamt kommt man auf
$\begin{eqnarray*} i^n \cdot (1+i) + (-i)^n \cdot (1-i) \end{eqnarray*}$ .. und dann auf .. $\begin{eqnarray*} i^n \cdot\left(1+i + (-1)^n(1-i)\right) \end{eqnarray*}$ ..

ja eine schöne erste Umformung vorgeführt

zum gleichen Ergebnis - nur etwas anders dargestellt, komme ich
mit diesem Vorschlag : zuerst die Klammern auszumultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} i^n +i^{n+1} + (-i)^n + (-i)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und das dann so zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} i^n \cdot [ 1 +(-1)^n + i\cdot (1 + (-1)^{n+1})] \end{eqnarray*}$

so, jetzt empfehle ich, mit der Fallunterscheidung
1) n ist gerade .. 2) n ist ungerade weiterzumachen
dann sollte schnell alles klar sein..

was meint ihr?

smile

22.12.2009, 00:16

Airblader

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Nein, damit kommst du nicht weiter.
Zu unterscheiden sind nicht zwei Fälle, sondern vier Fälle.

Dies liegt einfach daran:

i^n = i falls n mod 4 = 3
i^n = -1 falls n mod 4 = 2
i^n = -i falls n mod 4 = 1
i^n = 1 falls n mod 4 = 0

Und dann ist es egal, ob du ausmultiplizierst oder nicht. Es bleibt das Gleiche.

air

22.12.2009, 00:42

corvus

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Zitat:

Nein, damit kommst du nicht weiter.

ich sehe das anders:

$\begin{eqnarray*} i^n \cdot [ 1 +(-1)^n + i\cdot (1 + (-1)^{n+1})] \end{eqnarray*}$

schau dir die eckige Klammer an: $\begin{eqnarray*} [ 1 +(-1)^n + i\cdot (1 + (-1)^{n+1})] \end{eqnarray*}$

für gerade n hat die den Wert 2

also hat man $\begin{eqnarray*} i^n \cdot [ 2 ] \end{eqnarray*}$
= 2 * i^n ..
und da n gerade, also n=2m -> 2 * (i^2)^m = 2 * (-1)^m
also entweder +2 oder -2

analog wenn n ungerade: in der Klammer : 2* i ...usw..

ob ich also evtl doch "so" weiterkomme?

smile

ach ja: ich hatte oben nicht von zwei Fällen geschrieben sondern von einer
Fallunterscheidung die weiterführe ...
<

22.12.2009, 00:48

Airblader

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Und was hast du davon zu wissen, dass es entweder -2 oder +2 ist?
Um das zu unterscheiden musst du nochmal zwei Fälle betrachten ...

... und dann bist du genau dort, wo ich hinwollte mit vier Unterscheidungen.

air

22.12.2009, 00:58

corvus

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also nochmal:
ich hatte nicht geschrieben, dass es nur zwei Fälle gäbe,
sondern angeregt, mit der erwähnten Fallunterscheidung
weiterzumachen
und wie du siehst, ist dann die Entdeckung der insgesamt vier Fälle
dem Leser ein freudiges Findungs-Erlebnis ..

.. und niemand zieht in Zweifel, dass die Untersuchung von i^n mod 4
auch eine brauchbare Variante ist...

smile

22.12.2009, 01:24

Airblader

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Es ist keine brauchbare Version, es ist exakt das selbe!

Im Übrigen fällt auch die Betrachtung modulo 4 überhaupt nicht vom Himmel. Kennt man die kompl. Zahlen etwas, so kennt man die vier "Zustände" der Potenz i^n.

Wie gesagt - man kann beide Wege einschlagen. Deiner führt über einen "Umweg" einfach nur zu meinem. Für welchen man sich entscheidet - unerheblich.
Mir ging es nur darum, dass "dein" Weg anfänglich klang, als wäre es ein anderer. Und das ist er nicht. Du gehst den selben Weg wie ich, nur brauchst du dafür zwei Schritte, ich bin in einem Schritt dort. Augenzwinkern

Aber das sind ja nun Kleinigkeiten. Wie gesagt, letztlich sind beide Möglichkeiten äquivalent.

air

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