6-te Einheitswurzel, komplexe Zahl

22.12.2009, 15:24

estrella28

6-te Einheitswurzel, komplexe Zahl

Hallo

Ich weiß nicht wie ich die 6-te Einheitswurzel aus einer komplexen Zahl bestimmen soll:

(a+bi)^6=1

Brauche dringend Hilfe

LG
estrella28

22.12.2009, 16:06

Leopold

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Lösung entweder über die Polarform $\begin{eqnarray*} z = r \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray*}$ (funktioniert auch bei anderen Hochzahlen) oder hier durch Faktorisieren (kann nicht auf alle Hochzahlen übertragen werden):

$\begin{eqnarray*} z^6 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ z^6 - 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z^3 - 1 \right) \left( z^3 + 1 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ (z-1)(z^2 + z +1) \cdot (z+1)(z^2 - z+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Damit zerfällt die Aufgabe in das Lösen zweier linearer und zweier quadratischer Gleichungen.

Der letzte Schritt folgt übrigens, weil das Polynom $\begin{eqnarray*} p(z) = z^3 - 1 \end{eqnarray*}$ die Nullstelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ besitzt und daher den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} z-1 \end{eqnarray*}$ abspalten muß (Polynomdivision). Oder man erinnert sich einfach an diese Zerlegung, weil sie einem in seinem Mathematikleben schon so oft begegnet ist (z.B. bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ für die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ mittels Differenzenquotient).
Entsprechendes gilt dann auch für $\begin{eqnarray*} q(z) = z^3 + 1 \end{eqnarray*}$ .

22.12.2009, 16:13

estrella28

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kann sein, dass die Frage jetzt einigen blöd vorkommt, aber ich weiß jetzt nicht genauch wie ich diese gleichungen lösen soll???

22.12.2009, 16:16

Airblader

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Wenn du nicht weißt, wie man z-1=0 löst, dann solltest du doch nochmal ganz von vorne beginnen.
Hinweis: 0 = 0 + 0 * i

Und die quadr. Gleichungen ... da gibt es was namens Mitternachtsformel. Sollte auch nicht unbekannt sein. Und ja, die gilt auch im Komplexen.

air

22.12.2009, 16:25

estrella28

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ja ok, das weiß ich wie ich das lösen sollte, aber was verstehst du unter Mitternachtsformel, die p-q-Formel???

22.12.2009, 16:45

estrella28

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wenn ich das so löse, komme ich auf folgendes:

z1=1
z2=-1
z3= -0,5 + wurzel(1,25)
z4= -0,5 - wurzel(1,25)

Wie komme ich aber jetzt auf a und b ????

22.12.2009, 16:47

Airblader

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Wir sind in der HS-Mathe. Meinst du nicht, dass du Mitternachtsformel selbstständig nachschlagen hättest können?
Man muss dir doch wohl nicht alles vorkauen.

Habe dein Ergebnis nicht überprüft, aber du solltest doch wissen, dass Summanden ohne imaginäre Einheit den Realteil und Summanden mit imaginärer Einheit den Imaginärteil darstellen.

Edit: Richtig sein kanns aber nicht, da zumindest bei der einen quadr. Gleichung komplexe Lösungen entstehen und du nicht eine Einzige hast.

air

22.12.2009, 16:55

estrella28

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ja entschuldigung dass ich diesen begriff für diese Formel nicht kenne, und außerdem habe ich bis jetzt noch gar keine Gleichungen mit komplexen Zahlen gehabt, weiß daher auch nicht genau wie ich diese lösen soll.
Wenn ich es wüsste würde ich auch hier nicht nachfragen..., deshalb habe ich um hilfe gebeten.
Ich weiß nicht wie man solche Gleichungen mit komplexen zahlen lösen soll. Das ist mein Problem.

22.12.2009, 16:57

Leopold

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pq-Formel, klar. Aber halt richtig rechnen.

$\begin{eqnarray*} z^2 + z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=1, \, q=1 \, ; \ \ \text{Diskriminante} \ D = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Und dann ist eben $\begin{eqnarray*} \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ rein imaginär.

22.12.2009, 16:59

estrella28

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achso. aber wie komme ich jetzt auf mein a und b???

22.12.2009, 17:04

Leopold

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Das ergibt sich ganz von alleine. Du mußt nichts anderes tun, als die Mitternachtsformel anzuwenden. Vielleicht zuvor Folgendes:

Was ist $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet? Anders gefragt: Welche beiden Zahlen sind es, die im Quadrat $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ergeben?

22.12.2009, 17:06

Airblader

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Zitat:

Original von estrella28
ja entschuldigung dass ich diesen begriff für diese Formel nicht kenne.

Ich sage auch nicht "Kenne sie!", aber es ist wohl nicht zuviel verlangt, einen unbekannten Begriff in Google einzugeben und aus einem der 31.300 Treffer herauszulesen, was es ist, oder? Augenzwinkern

Du bekommst dein a und b, besser gesagt Real- und Imaginärteil, indem du die Zahl, die du erhälst, eben auf die Form a + b*i bringst. Sortiere also alle Summanden mit und ohne imaginäre Einheit.

Falls dir das nun nicht hilft, wäre es einfach ratsam, wenn du mal anfängst und dann postest, wie weit du kommst. Mehr kann man nämlich nicht sagen. Wenn du das getan hast, wissen wir auch, wo du hängenbleibst.

air

22.12.2009, 17:06

estrella28

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@leopold
das weiß ich nicht! Und wie, das ergibt sich von ganz alleine ????

22.12.2009, 17:11

Leopold

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Ich beantworte dir gerne deine Fragen. Aber du solltest zuvor auch meine beantworten. Ich fragte dich, welche beiden Zahlen im Quadrat $\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ergeben. (Wenn du im Moment auf dem Schlauch stehst, dann eine Ersatzfrage, die dir hilft, auf das Ergebnis zu kommen: Welche beiden Zahlen ergeben im Quadrat $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ ?)

Und von mir gibt es nichts mehr, bevor du nicht diese Frage(n) beantwortet hast.

22.12.2009, 17:15

estrella28

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na gut,

es müsste einmal $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt[2]{3}}{2}i \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} - \frac {\sqrt[2]{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

22.12.2009, 17:35

Leopold

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So ist's. Und jetzt in die Mitternachtsformel einsetzen und die beiden $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Lösungen angeben. Und dann dasselbe noch mit $\begin{eqnarray*} z^2 - z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

22.12.2009, 17:38

estrella28

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ok, danke,
dann habe ich aber nur 2 Lösungen heraus, die komplex sind ist das richtig?

22.12.2009, 17:48

Leopold

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Komplex sind alle Lösungen, denn die komplexen Zahlen umfassen ja die reellen. Wahrscheinlich meinst du das Folgende:

dann habe ich aber nur 2 Lösungen heraus, die nicht reell sind

Und dazu verweise ich auf

Zitat:

Original von Leopold
Und dann dasselbe noch mit $\begin{eqnarray*} z^2 - z + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

22.12.2009, 17:58

estrella28

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ok danke !!!

22.12.2009, 18:10

Leopold

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Es ist zwar nicht nötig, wäre aber eine nützliche Übung im Rechnen mit komplexen Zahlen, wenn du mit einer deiner Lösungen die Probe machen würdest, z.B. mit $\begin{eqnarray*} z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} = \frac{1}{2} \left( -1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$ . Ich fange einmal an:

$\begin{eqnarray*} z^6 = \left( \frac{1}{2} \left( -1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \right) \right)^6 = \frac{1}{64} \left( -1 + \sqrt{3} \cdot \operatorname{i} \right)^6 \end{eqnarray*}$

Und jetzt an $\begin{eqnarray*} (a+b)^6 = a^6 + 6 a^5 b + \ldots + 6 ab^5 + b^6 \end{eqnarray*}$ denken.

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