Konstruktion einer linearen Abbildung

23.12.2009, 11:32

Natalie_1234

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Konstruktion einer linearen Abbildung

Hallöchen,

ich habe schon wieder mal ein Verständnis/"Wie schreibt man es auf"-Problem und würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen würdet.

Laut Aufgabenstellung soll ich eine lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} <br /> Phi: \mathbb R^{3} -> \mathbb R^{3}<br /> \end{eqnarray*}$
konstruieren, die die Vektoren
$\begin{eqnarray*} <br /> x= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und <br /> y= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
auf die Vektoren
$\begin{eqnarray*} <br /> Phi(x)= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} und <br /> Phi(y)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
abbildet.

Was heißt das jetzt für Dummies wie mich?! Was habe ich zu tun?

Liebe Grüße, Natalie

23.12.2009, 11:45

Leopold

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Was meinst du mit "konstruieren"? In welcher Form soll die Abbildungsvorschrift angegeben werden?

23.12.2009, 11:51

wisili

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RE: Konstruktion einer linearen Abbildung
Entweder ist die Aufgabe so schluddrig gestellt, oder es ist im Rahmen des
Unterrichts klar, was man mit «konstruieren» meint.
x, y könnte zu einer Basis x, y, z ergänzt werden. Dann gibt man Phi(z) an (beliebig!).
Oder man gibt die zugehörige Matrix ...

(Habe die Antwort von Leopold übersehen, sorry.)

23.12.2009, 13:20

Natalie_1234

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Aufgabe
Also die Aufgabenstellung ist wirklich:
"Konstruieren Sie eine lineare Abbildung Phi (s.o.), die die Vektoren x und y (s.o.) auf die Vektoren Phi(x) und Phi(y) abbildet"

Der zweite Teil ist dann: "Geben Sie die darstellende Matrix M(Phi) an!"

23.12.2009, 13:46

Leopold

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Ergänze nach wisilis Vorschlag $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ zu einer Basis $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ . Weil es so schön zyklisch ist, schlage ich

$\begin{eqnarray*} z = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

vor. Du kannst aber auch jeden (!) anderen Vektor $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nehmen, so daß $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Warum sind die Vektoren bei meinem Vorschlag übrigens linear unabhängig?

Auch das Bild von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kannst du beliebig (!) vorgeben. Mein Vorschlag wäre, wieder weil es so schön zyklisch ist:

$\begin{eqnarray*} \varphi(z) = e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müßtest du die Bilder der Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ berechnen. Die gesuchte Matrix ist dann in Spaltenschreibweise

$\begin{eqnarray*} M_{\varphi} = \begin{pmatrix} \varphi(e_1) & \varphi(e_2) & \varphi(e_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Ich gehe hier übrigens davon aus, daß die Matrix sich auf die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_1,e_2,e_3 \end{eqnarray*}$ beziehen soll. So klar ist das aber nicht, leider äußerst du dich nicht dazu.)

Jetzt gilt:

$\begin{eqnarray*} e_1 = \frac{1}{2} \left( x + z - y \right) \end{eqnarray*}$

Daher kann $\begin{eqnarray*} \varphi(e_1) \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Linearitätseigenschaften von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Und wie macht man es mit $\begin{eqnarray*} \varphi(e_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(e_3) \end{eqnarray*}$ ?

25.12.2009, 18:54

Natalie_1234

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?
Was lineare Unabhängigkeit bedeutet usw. weiß ich.

Allerdings ist es mir nicht ganz klar, WARUM ich am Anfang ne basis bilde(n soll)?!

Und die Frage mit den Einheitsvektoren kann ich dir nicht beantworten. Habe ja weiter oben meine Aufgabe gepostet. Und GENAU SO steht die auf dem Übungszettel...

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25.12.2009, 19:46

Airblader

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Eine Abbildungsmatrix ist ein sinnfreier Begriff, wenn man keine Basen hat, auf die man sich bezieht.

Und da keine Basen gegeben sind, konstruierst du dir eben eine.

air

27.12.2009, 14:36

Natalie_1234

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Bilder der Einheitsvektoren
Also das mit den Bildern der Einheitsvektoren ist mir dennoch nicht ganz klar.

Warum ist e1=0,5(x+z-y)?!

27.12.2009, 14:48

El_Snyder

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Ich glaube Leopold meinte e2, aber rechne die Gleichung doch einfach mal aus, dann siehst du ja was gemeint ist.

27.12.2009, 14:53

Natalie_1234

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?!?
$\begin{eqnarray*} <br /> = 0,5\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0,5\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 0,5\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} + 0,5\begin{pmatrix} 0 \\ 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} + 0,5\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Oder wie?!

Und was sagt mir das jetzt bitte?!?! verwirrt

verwirrt

27.12.2009, 14:54

Natalie_1234

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Sorry, in der zweiten Zeile 0,5 als Koeffizient bitte wegdenken!

27.12.2009, 14:57

El_Snyder

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Wenn du aus dem letzten "+" ein "-" machst, wie es auch in der Gleichung steht, bekommst du den Vektor (0,1,0) = e2. Davon bestimmst du dann das Bild, wie Leopold schon geschrieben hat..

27.12.2009, 15:00

Natalie_1234

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?!?!

traurig

Also ich raff gar nichts.

Ich hab es bis zu dem Punkt verstanden als es hieß, ich möge eine basis bilden. Auch konnte ich die Vektoren nachvollziehen, die dafür vorgeschlagen wurden.

ABER: Wie bestimmt man denn die Bilder der Einheitsvektoren? und was heißt das überhaupt? Und wie hat sich denn bitte überhaupt die Gleichung 0,5x+0,5z-0,5y zusammengesetzt?! Woher die 0,5?!?!

27.12.2009, 15:20

El_Snyder

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Also: Du hast eine Basis bestehend aus den Vektoren x,y,z. Von diesen Vektoren kennst du auch die Bilder:

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)= e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \varphi(y)= e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \varphi(z) = e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da aus der Aufgabenstellung nicht ersichtlich wird, auf welche Basis sich die Abbildungsmatrix beziehen soll, gehst du von der Einheitsbasis aus, die aus e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) und e3 = (0,0,1) besteht. Der Spaltenraum deiner gesuchten Matrix besteht nun eben aus den Bildern der Basisvektoren dieser Einheitsbasis. Daher musst du die Bilder von e1, e2 und e3 bestimmen. Da du bereits die Bilder der Vektoren x,y und z kennst, stellst du jetzt einfach die Einheitsvektoren als Linearkombination von x,y,z dar. Daher die Gleichung 0,5x+0,5z-0,5y = e2. Anschließend setzt du für x,y,z jeweils die Bilder ein und bestimmst das Bild von e2. Analog berechnest du die Bilder der restlichen Einheitsvektoren und schreibst du Lösungen in den Spaltenraum deiner Abbildungsmatrix.

27.12.2009, 15:37

Natalie_1234

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Darstellung der Einheitsvektoren als LK
Also, dannn ergibt sich also erstmal

e1 = 0,5 (x-y+z)
e2 = 0,5 (x+y-z)
e3 = 0,5 (-x+y+z)

Und wie setze ich nun die Bilder ein?!

27.12.2009, 18:36

El_Snyder

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Das ergibt sich doch aus der Definition einer linearen Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \varphi(e_1) = \varphi(0,5 (x-y+z)) = 0,5 \cdot \varphi(x-y+z) = 0,5 \cdot [ \varphi(x) - \varphi(y) + \varphi(z) ] \end{eqnarray*}$

Naja und die kennst du..

27.12.2009, 19:20

Natalie_1234

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Drei Fragen
Aha. Also das wäre dann quasi der Vektor (-0,5 / 0,5 / 0,5), richtig?!

Ich hab jetzt mal noch zwei Fragen:
1. Das setz ich jetzt einfach in die erste Spalte der Abbildungsmatrix ein oder?
2. Muss ich noch zeigen/beweisen, dass das eine lineare Abbildung ist? (also dass die eigenschaften dafür alle erfüllt sind)?!

27.12.2009, 19:32

El_Snyder

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1. Ja!
2. Nein! Das steht in der Aufgabenstellung. Wäre das nicht der Fall, könntest du die Bilder der Einheitsvektoren ja gar nicht einfach auf obige Weise bestimmen..

27.12.2009, 20:42

Natalie_1234

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Dankesehr.
Und man muss auch nicht am Anfang zeigen, dass die Vektoren sich da wirklich abbilden?! Nicht dass mir dann am Ende son Nebenweg in der Aufgabe fehlt.

Ist die darstellende Matrix dann folgende:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

27.12.2009, 20:58

Natalie_1234

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Aufgabe die nächste
Im nächsten Teil soll ich die Untervektorräume ker(Phi) und im(Phi) zu meiner Abbildung Phi estimmen sowie deren Dimension angeben.

Bei Kern und Bild tu ich mich schwer. Wahrscheinlich weil ich nidht wirklich weiß, was es bedeutet.
Dimension ist doch 3 oder nicht?!

27.12.2009, 23:12

El_Snyder

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Wikipedia und die Suchfunktion bzw. einfach ein Blick hier in die Workshops helfen beim Verständnis der Begriffe Kern und Bild einer Abbildung weiter. Die Dimension des Kerns ist hier leider nicht 3...Versuch doch am besten erstmal rauszubekommen, was die Sachen alle bedeuten. Kennst du den Dimensionssatz?

$\begin{eqnarray*} \dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f) \end{eqnarray*}$

28.12.2009, 17:03

Natalie_1234

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?
Für den Kern muss meine abbildende Matrix multipliziert mit de Vektoren x,y und z gleich Null ergeben ODER?

Aber ich werde mich belesen und dann nochmal posten!

28.12.2009, 17:22

Leopold

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Zitat:

Original von El_Snyder
Ich glaube Leopold meinte e2, aber rechne die Gleichung doch einfach mal aus, dann siehst du ja was gemeint ist.

Also ich bekomme weiterhin $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( x + z - y \right) = e_1 \end{eqnarray*}$ heraus. verwirrt

verwirrt

28.12.2009, 17:27

Natalie_1234

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Es war auch e1. Keine SOrge!

28.12.2009, 17:30

Natalie_1234

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Bild
"Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten."

Das heißt ich muss doch wirklich nur schauen, wie viele Vektoren linear unabhängig sind. Das sind bei mir 3.

28.12.2009, 17:31

El_Snyder

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Eh ja, hast natürlich Recht Hammer

Hammer

Ich hab die drei Vektoren unbewusst im Kopf alphabetisch sortiert aber die Vorzeichen nicht mitgenommen.. Sry smile

smile

@ Natalie: Genau, du musst für den Kern das homogene Gleichungssystem A * x = 0 lösen. Die Lösungsmenge bildet einen Untervektorraum des Definitionsraums. Die maximale Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die diesen Untervektorraum aufspannen, ist die Dimension des Kerns.

28.12.2009, 17:34

Natalie_1234

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Also A*x=0 ist der Kern UND davon die unabhängigen Vektoren ist die Dimension des Kerns?!

Aber was ist dieses x? Wie wähle ich das? Oder ist das mein Vektor x?

31.12.2009, 12:08

Natalie_1234

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Bevor ich nun weiter an Kern und Bild arbeite nochmals eine Verständnisfrage.

WARUM bezieht ihr die Abbildungsmatrix auf die Einheitsvektoren? Weil die Aufgabenstellung nichts anderes vorgibt?!
Aber muss man sich nicht auf die Basis der gegebenen Vektoren (also entweder x,y,z OR Bilder von x,y,z) bezieht?!

31.12.2009, 13:21

Natalie_1234

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Kern vom Bild
Also... um den Kern vom Bild zu errechnen, muss ich also M*v=0 lösen.

D.h. doch:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -0,5 & 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Ich habe nun zwei Möglichkeiten, dieses LGS zu lösen:
1. Indem ich drei Gleichungen erstellen (Skalarprodukt) und diese Auflöse. Für die erste z.B.:
$\begin{eqnarray*} -0,5\cdot v_{1} + 0,5\cdot v_{2} + 0,5\cdot v_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

2. Über den Gauss-Algorithmus. Dabei stell ich mich allerdings nicht besonders clever (an, wahrscheinlich weil ich das nicht beherrsche). Hab jetzt die Matrix aufgeschrieben, dann nen senkrechten Trennstrich und dann halt ne Null rechts.
Dann habe ich je die zweite und dritte Zeile mit der ersten addiert und erhielt:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -0,5 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
und rechts eben immer noch Nullen. Das kann doch so nicht stimmen oder?!

31.12.2009, 18:27

El_Snyder

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Das stimmt soweit. Jetzt multiplizier die erste Zeile mit 2 und zieh die zweite und dritte Zeile davon ab. Was gilt dann für den Kern bzw für die Lösungen deines Gleichungssystems?

31.12.2009, 19:44

Natalie_1234

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Na dann hab ich diagonal noch 1en stehen und der Rest ist ne Null.
Das heißt doch aber, dass v1, v2 sowie v3 alle Null wären oder?!

02.01.2010, 21:06

Natalie_1234

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?
Könntet ihr mir bitte mal antworten?

Ich mein, dass v quasi ebenfalls Nullvektor ist, ist ja klar/logisch. Dafür braucht man ja nicht sonstwas fürn Gleichungssystem herstellen. Aber gibt es denn nicht noch andere Lösungen? Wenn ja, wie findet man diese heraus?

03.01.2010, 15:36

Natalie_1234

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Problem mit Abbildungsmatrix
WARUM bilden wir die Matrix eigentklich auf die Einheitsvektoren ab?

Und machen es nicht wie allgemein, dass Basis 1 auf Basis 2 abgebildet wird? Also x,y,z auf Bilder von x,y,z?!

03.01.2010, 15:52

El_Snyder

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Zitat:

Original von Natalie_1234
Könntet ihr mir bitte mal antworten?

Wie man Gleichungssysteme löst, wann man keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen erhält, ist elementar und erfährt man sicher nicht nur hier hier im Forum... Wenn du es so eilig hast, dann zeig doch mal was Eigeninitiative und benutze die Suchfunktion, google etc... Trotzdem:

Zitat:

Original von Natalie_1234
Ich mein, dass v quasi ebenfalls Nullvektor ist, ist ja klar/logisch. Dafür braucht man ja nicht sonstwas fürn Gleichungssystem herstellen. Aber gibt es denn nicht noch andere Lösungen? Wenn ja, wie findet man diese heraus?

Richtig, die Lösung ist trivial. Es muss aber nicht immer die einzige sein. Erhältst du beim Umformen der Matrix eine Nullzeile, hat das LGS unendlich viele Lösungen. Erhältst du wie hier die Einheitsmatrix, hat es nur eine, die triviale Lösung, nämlich den Nullvektor. Der Kern ist dann leer, was wiederum beduetet, dass die Dimension des Kerns 0 ist.

03.01.2010, 15:55

Natalie_1234

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Hallo,

entschuldige bitte meine Ungeduld. Aber ich hatte Angst, dass sich hier niemand mehr meldet unglücklich

unglücklich

Jedenfalls, bitte bitte, bitte beantworte folgende Frage:
WARUM bilden wir die Matrix eigentklich auf die Einheitsvektoren ab?
(Ihr meintet, weil nicht klar ist, auf welche Basen man abbilden soll)
Warum habt ihr es nicht allgemein vorgeschlagen (Basis 1 auf basis 2, siehe Wikipedia); also dann quasi x,y,z auf die Bilder von x,y,z ?! (oder ist das jetzt totaler quark?)

03.01.2010, 16:07

El_Snyder

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Wie schon gesagt: Die Aufgabenstellung gibt in dieser Hinsicht nichts vor, da liegt eine Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsbasis nunmal nahe. Du kannst genau so gut M(A,L,E), M(E,L,A), M(A,L,A) angeben (wenn A die gegebene Basis x,y,z ist). Die Abbildung bleibt dann dieselbe, nur beziehen sie sich halt auf andere Basen...

03.01.2010, 16:12

Natalie_1234

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?
Was sind denn L und E?!

03.01.2010, 16:19

Natalie_1234

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Ich hab ja auch nur Angst, dass das am Ende falsch ist, weil ich hätte die Basis, die x,y und z bilden auf die Basis die die Bilder von x,y,z bilden abbilden sollen...
denn es heißt ja auch: "konstruieren sie eine lineare abbildung ... die x... auf Bild(x)... abbildet und geben sie darstellende matrix an"

03.01.2010, 16:32

El_Snyder

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Ich hab die Abbildung jetzt einfach L genannt, sry Augenzwinkern

Augenzwinkern

E ist die Einheitsbasis, hier des R³.

"Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis (mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung!" (Wikipedia)

Wenn also durch die Aufgabenstellung nicht genau festgelegt ist, welche Basen du der Abbildungsmatrix zugrunde legen sollst, kannst du dir welche aussuchen. Die Einheitsbasis ist da nunmal die einfachste. Ein Basiswechsel verändert dann die Matrix, nicht aber die Abbildung!

03.01.2010, 16:50

Natalie_1234

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Ok
Also haben wir alles richtig gemacht, ja?!

Wie hätte denn die aufgabenstellung lauten müssnen, wenn es vorgegeben wäre?

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