Zeigen, dass Mannigfaltigkeit

23.12.2009, 16:53

Max Simon

Zeigen, dass Mannigfaltigkeit

Hallo,

Auch wenn morgen Weihnachten ist muss ich mich weiter mit neuen mathematischen Begriffen rumquälen.

Diesmal gehts um Mannigfaltigkeiten.

Wir haben hier 2 Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_1(x,y,z):=x^2+xy-y-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x,y,z):=2x^2+3xy-2y-3z \end{eqnarray*}$ .

Dann wird die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R ^{3};\ f_1(x,y,z)=f_2(x,y,z)=0\right\} \end{eqnarray*}$ definiert.

Wir sollen nun zeigen, dass dies eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ ist.

Wie macht man denn sowas?

Ich muss doch dazu zeigen, dass ich zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dieser Fläche einen "Fetzen ohne Rand" aus der Fläche, welcher diesen Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthält, ausschneiden kann (Ich lege eine offene Umgebung/ offene Kugel $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ), so dass nun eine 1-dimensionale Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ existiert mit folgender Bedingung:

Es gibt eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ , deren Ableitung für alle Punkte den Rang 1 hat.
Außerdem muss $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ injektiv und die Umkehrfunktion stetig sein.
Dann muss gelten $\begin{eqnarray*} \Phi(T)=M \cap U \end{eqnarray*}$ .

Aber nun bin ich ziemlich hilflos. Wo soll ich hier anfangen?
Muss ich nach einer Umgebung, abhängig von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ natürlich suchen, oder muss ich irgendwie eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ konstruieren?
Beides ist mir nicht gelungen...

Deswegen brauch ich eure Hilfe.

Danke und Frohe Weihnachten!
Lg Max

23.12.2009, 17:13

wisili

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RE: Zeigen, dass Mannigfaltigkeit

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R ^{3};\ f_1(x,y,z)=f_2(x,y,z)=0\right\} \end{eqnarray*}$ definiert.

Dann ist für alle Punkte in M auch $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \ f_1(x,y,z) - f_2(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ . Rechne die linke Seite aus.
Ebenso ist für alle Punkte in M auch $\begin{eqnarray*} 3 \cdot \ f_1(x,y,z) - f_2(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$ . Rechne die linke Seite aus.
Zu finden ist wohl eine Parameterdarstellung der Linie (als Beweis der 1-Dimensionalität).
Wähle dazu x als Parameter t.

23.12.2009, 19:16

Max Simon

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RE: Zeigen, dass Mannigfaltigkeit
Danke für die überraschend schnelle Antwort!

Aus den Gleichungen ergibt sich als Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \Phi(t):=(t,t^{2},t^{3})^{T} \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} \Phi '(t)=(1,2t,3t^{2})^{T} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \Phi (t) \end{eqnarray*}$ ist stetig differenzierbar.

$\begin{eqnarray*} \Phi '(t) \end{eqnarray*}$ ist dabei eine $\begin{eqnarray*} 3 \times 1 \end{eqnarray*}$ -Matrix, deren Rang natürlich 1 ist für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Phi (t) \end{eqnarray*}$ ist natürlich injektiv.

Wähle ich als Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ (ist natürlich offen) und als $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \Phi : T \rightarrow U \end{eqnarray*}$ .

Weil für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f_1(\Phi (t))=f_2(\Phi (t))=0 \end{eqnarray*}$ , bildet $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ sogar auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ab.

Somit ist $\begin{eqnarray*} \Phi (T)=M=M\cap \mathbb R ^{3}=M\cap U \end{eqnarray*}$ .

Nun muss nur noch gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \Phi ^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Doch was ist hier die Umkehrabbildung?

Wenn dass dann auch noch gezeigt ist, ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Mannigfaltigkeit und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ eine globale Parametrisierung.

Kann mir bei diesem Schritt nochmal jemand helfen?

Dankeschön.
LG Max.

23.12.2009, 19:23

system-agent

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RE: Zeigen, dass Mannigfaltigkeit

Zitat:

Original von wisili
Zu finden ist wohl eine Parameterdarstellung der Linie (als Beweis der 1-Dimensionalität).

Stattdessen wäre auch der Satz über implizite Funktionen hilfreich.

27.12.2009, 16:17

Max Simon

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RE: Zeigen, dass Mannigfaltigkeit
Ok, mit dem Satz über implizite Funktionen kann man also zeigen, dass das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x^{2}+xy-y-z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+3xy-2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

in einer bestimmten Umgebung auflösbar ist.

Ich hab aber nicht verstanden, wie mir das hier hilft bzw. wie man dann so ein System auflöst.

Kann das mal bitte jemand vormachen?

28.12.2009, 11:16

system-agent

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Du baust dir eine neue Abbildung
$\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^3\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} F=(f_1,f_2) \end{eqnarray*}$ und du musst nun das Differential $\begin{eqnarray*} DF \end{eqnarray*}$ untersuchen.
Das Differential muss in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in M \end{eqnarray*}$ den Rang ... haben, damit es surjektiv ist.
[Satz vom regulären Wert]

28.12.2009, 14:49

Max Simon

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Es ist dann $\begin{eqnarray*} F(x,y,z)=\begin{pmatrix} x^{2}+xy-y-z \\ 2x^{2}+3xy-2y-3z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} F'(x,y,z)=\begin{pmatrix} 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rang muss nun, wenn ich das richtig gelesen hab, die Dimension des Bildraumes haben, spricht einen Rang von 2.
Einen größeren Rang kann das Differential nicht haben (nur 2 Zeilen); Da 2 beliebige Spalten auch nicht linear abhängig sind, ist der Rang auch nicht 1.
Somit hat das Differential hier den Rang 2.

Das heißt nun scheinbar, dass das Differential surjektiv ist.

Es tut mir Leid - ich hab bisher noch nichts von diesem Satz gehört und wirklich verstanden hab ich ihn jetzt auch noch nicht.

Was bringt mir das also?

Danke. LG Max

29.12.2009, 11:24

system-agent

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Vielleicht solltest du zuerst mal erwähnen wie ihr eine Untermannigfaltigkeit definiert habt bzw schon dazu kennt.

Anschaulich ist eine Untermannigfaltigkeit ein Ding, das in der Nähe von jedem Punkt aussieht, wie ein Graph einer differenzierbaren Abbildung [vgl zb den Kreis].
Das leistet genau der Satz von der impliziten Funktion:
Er sagt wann man eine Gleichung [lokal] nach irgendeiner Variablen auflösen kann, i.e. also alles lokal Graph der differenzierbaren impliziten Funktion ist.

29.12.2009, 14:36

Max Simon

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Also nach Definition ist eine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit jede Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ , für die gilt:

Für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ gibt es eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V \subseteq \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ , sodass ein Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} h:U \rightarrow V \end{eqnarray*}$ existiert (dieser ist differenzierbar), mit $\begin{eqnarray*} h(U\cap M)=V \cap \mathbb R^{k}\times 0_{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Letztendlich ist damit eine k-dimesnionale Untermannigfaltigkeit eine "Fläche" (durchaus höherdimensional), welche man zu einer k-dimensionalen "Fläche" "glattbügeln" kann.
So ist z.B. die Oberfläche einer Kugel (3-dimensional) eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Dann haben wir noch die Äquivalenzen:

(a) $\begin{eqnarray*} M\subseteq\mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit.

(b) $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist lokal ein Graph, d.h.
für alle $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \check a := (a_1,...,a_k) \end{eqnarray*}$ (zuvor geeignet umnummerieren) gibt es Umgebungen $\begin{eqnarray*} \check U \subseteq \mathbb R^{k} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \check a \end{eqnarray*}$ , so dass eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: \check U \rightarrow \check U \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} M \cap (\check U\times \check U) = gr(f):=\left\{ (\check x,f(\check x)); \check x \in \check U\right\} \end{eqnarray*}$ .

(c) Es gibt eine Parameterdarstellung, d.h.
für alle $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ gibt es eine offene Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , eine offene Menge $\begin{eqnarray*} T \subseteq \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ und eine reguläre Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi: T \rightarrow \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ (d.h. stetig differenzierbar, injektiv, Rang der Ableitung gleich k, Umkehrabbildung stetig) mit $\begin{eqnarray*} \Phi(T)=U\cap M \end{eqnarray*}$ .

Ich hab ja nun oben zunächst versucht, die Untermannigfaltigkeit über (c) nachzuweisen, wo mir aber noch die Stetigkeit der Umkehrabbildung von Phi fehlt.
Du hingegen scheinst über (b) gehen zu wollen. Allerdings verstehe ich dabei schon die Aussage (b) nicht.

Was ist denn die Umkehrabbildung meiner oben bestimmten Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(t)=(t,t^{2},t^{3})^{T} \end{eqnarray*}$ .
Wenn das Ding dann stetig ist, bin ich ja fertig.

Danke für die Hilfe.
LG Max

29.12.2009, 15:37

saz

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Zitat:

Original von Max Simon

Was ist denn die Umkehrabbildung meiner oben bestimmten Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi(t)=(t,t^{2},t^{3})^{T} \end{eqnarray*}$ .
Wenn das Ding dann stetig ist, bin ich ja fertig.

Was macht denn eine Umkehrabbildung? Sie weist gerade jedem Bild ihr Urbild zu. Demzufolge sollte die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}: (x_1,x_2,x_3)^T \mapsto x_1 \end{eqnarray*}$ sein. (Ich hoffe mal, dass es stimmt, sitze ja vor den gleichen Aufgaben wie du ;-))

29.12.2009, 15:54

Max Simon

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ja schon, aber das heißt ja auch, dass $\begin{eqnarray*} x_2=x_1^{2},\ x_3=x_1^{3} \end{eqnarray*}$ .
Mir ist nicht ganz klar, was denn nun die Urbildmenge der Umkehrfunktion, also die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist.
Ist $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}:M\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2009, 16:58

saz

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Zitat:

Original von Max Simon
Ist $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}:M\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Mh ja. Wie oben in c) steht, ist ja $\begin{eqnarray*} \Phi: T \to \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , demzufolge müsste $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}: \mathbb{R}^3 \to T \end{eqnarray*}$ gelten. Da in unserem Fall ja aber $\begin{eqnarray*} T = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi(\mathbb{R}) = M \end{eqnarray*}$ ist, kannst du es natürlich auch gleich entsprechend "einschränken".

29.12.2009, 19:12

Max Simon

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Ok. Dankeschön euch dreien!

30.12.2009, 09:22

system-agent

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Zitat:

Original von Max Simon
Ist $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}:M\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Ja, denn $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ soll eine Karte der Mannigfaltigkeit sein.

Die Aussage von (c) ist, dass es eben um jeden Punkt eine Karte gibt, das heisst eine Parametrisierung. Weiter besagt es, dass die Kartenwechsel alle differenzierbar sind und das ist insofern wichtig, dass jede Untermannigfaltigkeit damit auch tatsächlich eine "richtige" Mannigfaltigkeit ist.

Rechentechnisch - und vor allem wenn du deine Untermannigfaltigkeit so gegeben hast wie in der Aufgabe - ist (b) viel besser, denn da muss man nirgends sich eine Parametrisierung basteln [mach das mal, wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Form eines Autos hätte...].
Da muss man nur den Rang eines Differentials ausrechnen.

Die Aussage von (b) solltest du dir wirklich am Kreis verdeutlichen:
Pro Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ des Kreises "sieht" dieser, in der Nähe von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , aus wie der Graph einer differenzierbaren Abbildung, zb. beim Einheitskreis sieht der Kreis bei $\begin{eqnarray*} p=(0,1) \end{eqnarray*}$ aus wie der Graph der differenzierbaren Abbildung $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ .
Da diese Eigenschaft für jeden Punkt gilt [eventuell mit einer Variable y für die lokale Abbildung] ist der Kreis eine 1-dim Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Dagegen ist eine Parametrisierung schon schwieriger zu finden:
$\begin{eqnarray*} R: [0,2\pi]\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\mapsto (\cos(t),\sin(t)) \end{eqnarray*}$ ist wohl nur deshalb leicht zu finden, weil du es schon 1000-mal gesehen hast Augenzwinkern

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