gleicher Abstand von zwei Punken auf Gerade

23.12.2009, 19:29

asianhawk

gleicher Abstand von zwei Punken auf Gerade

Hi Leute,
komme mit folgender Aufgabe einfach nicht klar:

Welcher Punkt P auf der Geraden $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+t\times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist von A(4 | 0 | 1) und B(0 | 2 | 1) gleichweit entfernt?

ich muss natürlich einen bestimmten Wert für t finden, der dann einen Punkt erzeugt, der genau zwischen A und B liegt. Aber wie finde ich den?

23.12.2009, 19:53

riwe

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RE: gleicher Abstand von zwei Punken auf Gerade
$\begin{eqnarray*} |AP|=|BP| \end{eqnarray*}$

nun setzt du einfach für A, B und P ein

23.12.2009, 20:21

asianhawk

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also so?

$\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2-t \\ 2 \\ t \end{pmatrix}|= |\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2-t \\ 2 \\ t \end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} \sqrt9+2t+2t^{2} = \sqrt5+2t+t^{2} \end{eqnarray*}$

wenn es bis hierher richtig ist, wie geht es weiter?

23.12.2009, 21:54

asianhawk

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habs schon rausbekommen, kann ja beide Seiten quadrieren. ausserdem hatten sich da noch einige Rechenfehler eingeschlichen. Die beiden Wurzelterme da unten sind nicht korrekt...

23.12.2009, 22:21

riwe

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Zitat:

Original von asianhawk
habs schon rausbekommen, kann ja beide Seiten quadrieren. ausserdem hatten sich da noch einige Rechenfehler eingeschlichen. Die beiden Wurzelterme da unten sind nicht korrekt...

fein

P(2.5/2/-0.5) sollte hinkommen

24.12.2009, 09:40

Leopold

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Ein anderer Ansatz verwendet die Symmetrieebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Sie enthält den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Strecke $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und steht senkrecht auf ihr. Auf $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ liegen alle Punkte, die von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ denselben Abstand besitzen. Vergleiche dazu das zweidimensionale Analogon mit der Mittelsenkrechten.

Der Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{m} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist der "mittlere Vektor" der Ortsvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Als Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ kann man zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \vec{n} = - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ nehmen:

$\begin{eqnarray*} E: \ \vec{n} \vec{x} = \vec{n} \vec{m} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt man für $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den Term der Geradengleichung ein und erhält

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hieraus kann man den Parameterwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnen, der, eingesetzt in die Geradengleichung, den Ortsvektor des gesuchten Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liefert.

P.S.
Die Vorstellung, daß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ "genau zwischen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt", trifft nicht ganz. Das ist zu speziell. Vielleicht zeichnest du einmal eine räumliche Skizze mit $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ und ihrer Symmetrieebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

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