Menge mit p (ist prim) Elementen, Menge der verschiedenen Ringe auf M ?

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glawar Auf diesen Beitrag antworten »
Menge mit p (ist prim) Elementen, Menge der verschiedenen Ringe auf M ?
Mal wieder eine knifflige Aufgabe, wo mir schlicht der Einstieg fehlt:
Sei M eine Menge mit p Elementen, wobei p Primzahl ist. Wieviel bis auf Isomorphie verschiedene Ringe auf M gibt es?

Edit: Tippfehler im Titel korrigiert. Gruß, Reksilat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei.
glawar Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Weihnachtliche Antwort. Dennoch wüsste ich gern wie du darauf kommst Big Laugh .
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest der Reihe nach die folgenden Dinge für einen Ring R mit p Elementen, p prim, abchecken.

1. Die additive Gruppe (R,+) ist zyklisch.
2. Ist a ein erzeugendes Element von (R,+), so ist die Multiplikation im Ring durch Angabe von



vollkommen festgelegt.
3. Alle Ringe mit sind zueinander isomorph..

Damit hast ja jetzt einiges, worüber du nachdenken kannst... Ich hoffe, die Weihanchtsferien reichen dafür aus... Augenzwinkern
gast100 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort ist trotzdem 1. Es reicht, zu zeigen, dass der Morphismus , wobei R ein Ring mit p Elementen sei, surjektiv ist. Das folgt aus Dingen, die man über Gruppen von Primordnung weiß.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Nein: 2. Die Struktur, in der alle Produkte 0 sind, erfüllt die Ringaxiome.
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort kann schon deshalb nicht 1 sein, weil es ja schon mal mindestens 2 nichtisomorphe Ringe mit p Elementen gibt, nämlich den Restklassenring mod p und den Zeroring mit der trivialen Multiplikation (edit: wie auch von Wisili angegeben, wie ichn erst jetzt sehe)



Es sei denn, man verlangt in der Ringdefinition von vornherein, dass ein Einselement exisitiert, was zwar gelegentlich gemacht wird, aber (gottseidank!) noch immer die Ausnahme und nicht die Regel darstellt...

Wenn man natürlich davon ausgeht, dass der Ring ein Einselement hat (hier sollte der Threadersteller sagen, ob das in seinem Fall zutrifft), dann wird die Aufgabe in der beschriebenen Art und Weise tatsächlich trivial...
glawar Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt, ein neutrales Element bzüglich Multiplikation muss nicht existieren. Ließe sich aber der Beweis nun nicht vereinfachen, in dem man feststellt, das für Ringe MIT einselement bezügl. Mult. besagter Homorphismus gilt und der 2. Fall, wenn kein Einselement existiert nur dieser Fall sein kann, nämlich das dann gelten muss?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das könnte man tatsächlich... Man muss dazu zunächst zeigen, dass wenn R nicht der Zeroring ist, die Gleichungen



für alle lösbar sind...
glawar Auf diesen Beitrag antworten »

Mh danke, ich werde mich morgen daran setzen (ich denkemal aus dem oben genannten folgten die existenz eines neutralen Elements fast trivial) und dann mal alles hier reinstellen wenn ich fertig bin, so das auch eine Lösung ans Ende des Threads kommt.
glawar Auf diesen Beitrag antworten »

Wie es scheint hab ich mich da von einem Problem ins nächste gerettet. Das einzige was ich ja weiß, ist dass ich aus folgern kann, wegen der Distributivität, desweiteren ist die Menge der endlich und es gibt . Wie daraus jetzt folgt das diese Gleichung für alle Elemente lösbar ist, seh ich noch nicht.
Im Gegenteil, wenn ich von der Multiplikation auf den ganzen zahlen ausgehe, so wäre z.B. nicht lösbar. Und dort existiert das neutrale Element der Multiplikation.
Ist dies also tatsächlich eine gdw Beziehung?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin selbstverständlich davon ausgegangen, dass die Anzahl der Elemente des Rings p, p Primzahl, ist... Ich dachte, das muss ich nicht extra nochmals anführen, da es in diesem Thread um genau diese Ringe geht, aber das war offenbar ein Irrtum... unglücklich

Also nochmals die Behauptung, um die es hier geht, und nun in aller Ausführlichkeit.

Beh.: Ist R ein Ring mit p Elementen, p Primzahl, und gilt , dann ist aR=Ra=R für alle

Du musst beim Beweis immer und immer wieder (ad nauseam, wie der Lateiner sagt) verwenden, dass R gemäß unseren Voraussetzungen nur die trivialen additiven Untergruppen und damit auch nur die trivialen (ein- oder zweiseitigen) Ideale (0) und R haben kann... Fang dazu am besten gleich mit dem Ideal (0):R an...
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