Textaufgabe versch. Folgen/Beschränktheit ? Weihnachtssterne ... alias Polygone

25.12.2009, 12:50

Tarnfara

Textaufgabe versch. Folgen/Beschränktheit ? Weihnachtssterne ... alias Polygone

Frohe Festtage allerseits:

hier die Aufgabenstellgung:
Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1, dies sei Polygon Nr. 0. Nun konstruieren Sie induktiv das Polygon Nr. k+1 aus dem mit der Nummer k, indem Sie das mittlere Drittel einer jeden Kante des Polygons Nr. k durch zwei Kanten ersetzen, so dass die beiden neuen Kanten mit der alten, gestrichenen "Drittelkante" ein gleichseitiges Dreieck bilden, welches nach außen zeigt.
- Skizzieren Sie Polygon Nr. 2 und 3
- Bestimmen Sie die Anzahl der Kanten, die Längen der Kanten, den Umfang und den Inhalt von Polygon Nr. k, sowie die jeweiligen Grenzwerte für k gegen unendlich.
- Ist die Vereinigung aller dieser Polygone im R² beschränkt ?

Die Skizze kann ich hier jetzt leider nicht präsentieren, für die geforderten Folgen habe ich mir folgendes überlegt:

- Anzahl der Kanten - Das erste Polygon hat drei Kanten. Beim nächsten kommen zu jeder bereits vorhandenen Kante jeweils 2, die "Überbleibsel der gedrittelten Kante, und 2 weitere, die "neuen Kanten" des gleichseitigen neuen Dreiecks dazu), also 4.

$\begin{eqnarray*} z: \mathbb N \to \mathbb R , z_k = 3 \cdot 4^k, \; \lim_{k\to\infty} z_k = \infty \end{eqnarray*}$

- Längen der Kanten, naja, die Kanten werden jeweils gedritteltet...

$\begin{eqnarray*} l: \mathbb N \to \mathbb R, l_k = \frac{1}{3^k}, \;\lim_{k\to\infty}l_k=0 \end{eqnarray*}$

Umfang von Polygon k: Zwischen der ganzen Hochschulmathematik weiß ich ja nicht, ob ich das jetzt einfach so sagen darf, aber in meiner Welt wäre der Umfang einfach, Anzahl der Kanten mal ihrer Länge, also: (?)

$\begin{eqnarray*} u: \mathbb N \to \mathbb R, u_k = l_k \cdot z_k = 3 \left( \frac{4}{3}\right)^k, \; \lim_{k\to\infty} u_k = \infty \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt: Dazu habe ich Pythagoras bemüht und einfach behauptet, dass der Flächeninhalt A eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a so aussieht:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4} \end{eqnarray*}$

Der Flächeninhalt eines beliebigen Polygons ist jeweils der Flächeninhalt des vorhergehenden + dem Flächeninhalt der neu hinzugekommenen Dreiecke. Dabei kommen jeweils so viele Dreiecke dazu, wie das vorhergehende Polygon Kanten hatte und die Seitenlänge der neuen Dreiecke ist jeweils die neue Kantenlänge, daraus habe ich zunächst diese Reihe gemacht:

$\begin{eqnarray*} A: \mathbb N \to \mathbb R, \; A_k = \frac{l_o^2 \cdot \sqrt{3}}{4} + \sum_{n=0}^k z_n \left( \frac{l_{n+1}^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\right) \end{eqnarray*}$

Mit ein bisschen Umformen glaube ich, das erfolgreich auf die geometrische Reihe zurückgeführt zu haben (Zwischenschritte kann ich gern nachliefern smile

$\begin{eqnarray*} =\frac{\sqrt{3}}{4}\left( 1+ \frac{1}{3}\sum_{n=0}^k\left(\frac{4}{9}\right)^n\right) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} A_k = \frac{\sqrt{3}}{4}\left( 1+ \frac{1}{3}\left( \frac{1}{1-\frac{4}{9}}\right)\right) = \frac{2 \sqrt{3}}{5} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Fehler ?

Nun soll ich beantworten, ob die Vereinigung dieser Polygone beschränkt ist. Meine Vermutung ist ja; allerdings bin ich mir absolut nicht sicher, was damit überhaupt gemeint ist.
So ein Polygon im R² ist doch die Menge der Punkte, die die "Figur beschreiben" ? Gefühlt denke ich, dass sich all diese Punkte in einen Kreis um den Mittelpunkt des ersten gleichseitigen Dreiecks "einsperren" ließen, was ja nichts anderes heißen würde, als dass ihr Abstand (also die euklidische Metrik) nicht weiter als x von einem bestimmten Punkt entfernt wäre, je nachdem, wo und wie ich meine Polygone ins Koordinatenkreuz lege. Da ich dazu aber keine weitere Angaben habe und auch nicht wirklich weiß, ob die Rechnung oben überhaupt richtig ist oder wie ich die Lage der Punkte formalisieren könnte, bin ich etwas aufgeschmissen und für jede Anregung oder Korrektur dankbar,

Liebe Grüße,

25.12.2009, 13:58

Elvis

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Gut gerechnet, alles richtig. smile

Die Koch'sche Schneeflocke ist beschränkt (Einen Beweis dafür habe ich nicht, es ist nur "offensichtlich". Sieh z.B. hier http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...iel/beispiel12/
Ein mühsamer Beweis könnte vielleicht über Grenzwerte für die Koordinaten neuer Eckpunkte laufen.)

Frohe Weihnachten (mit viel fraktalem Schnee)
Elvis

25.12.2009, 14:12

Tarnfara

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Zitat:

Original von Elvis
Gut gerechnet, alles richtig. smile

Aha !
Nee, danke dir schonmal, jetzt weiß ich wenigstens, was mein Prof. sich bei der Aufgabe gedacht hat. ;-)

Kann ich also das erste Dreieck einfach mal mit dem Mittelpunkt in den Ursprung des kartesischen Koordinatenkreuzes legen und von da aus "behaupten", dass alle vorhergehenden Schneeflocken in der k+1.ten Schneeflocke enthalten sind ? (Es wachsen ja sozusagen Dreiecke an).
Theoretisch reicht es doch aus, eine Schranke zu raten. Wegen Dreiecksungleichung müsste anschließend auch egal sein, wo man das Dreieck hinlegt, also die Schranke verallgemeinerbar sein.

*grübel*
Ich versuch das Mal,

dank dir,

C.

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