Lineare Splines

25.12.2009, 13:51

Oleg H.

Lineare Splines

Hallo alle zusammen,
ich lerne gerade etwas Numerik I und schaue mir momentan lineare Splines an.

Meine Aufgabe lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}(x+2)/2, & \text{ }x\in[-2,0]\text{ }\\1, & \text{ }x\in(0,1]\text{ } \end{cases} \end{eqnarray*}$
für (a) $\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3)=(-2,-1,0,1) \end{eqnarray*}$ oder (b) $\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2)=(-2,-1,1) \end{eqnarray*}$ ein linearer Spline auf [-2,1]?

Also ich muss ja folgende 2 Eigenschaften zeigen:
(i) Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \in C^0([-2,1]) \end{eqnarray*}$ ?
(ii) Ist $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb P_1 \end{eqnarray*}$ ?

Zu a):
[a,b] = [-2,1]
$\begin{eqnarray*} \tau=\{[-2,-1], [-1,0], [0,1]\} \end{eqnarray*}$
Die beiden "Teilfunktionen" von f(x) bezeichne ich jetzt mit s1 und s2:

(i) Was ich hier nicht ganz verstehe ist, warum ich folgendes zegen muss:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} s1(x)=1=s1(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} s2(x)=1=s1(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} s1(x)=0,5=s1(-1) \end{eqnarray*}$ <---

Das man den Limes von 0 und -1 betrachtet ist mir klar, aber warum das wo ich den <--- dran gemacht habe?

Und bei (b):
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} s1(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ , aber s2(-1)=1
Als Grund schrieb der Korrektor bei mir: "kein Polynom auf [-1,1]!"

Irgendwie ist mir nicht ganz klar warum man das so machen muss.
Als Idee ist doch, dass man quasi die Zahlen betachtet, die in je zwei Teilintervallen vorkommen. Dort betrachtet man den Limes von beiden Seiten, oder?

25.12.2009, 17:58

tigerbine

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RE: Lineare Splines
Was ein linearer Spline ist, weißt du.

[WS] Spline-Interpolation - Theorie
[WS] Spline-Interpolation - Beispiele

Schauen wir uns die Funktion f an. Die Übergangsstelle ist dort bei x=0.

Als Werte in den Knoten nehmen wir dann Funktionswerte von f. Solange wir in [-2,0) oder (0,1] bleiben,alles kein Problem. Dort sind die Funktionen linear und wir bekommen als Restriktionen (Polynomstücke des Splines) ja auch diese Linearen Teile raus.

Da f keine Sprungstelle hat bei X=0, haben wir bei (a) einen linearen Spline. Das mit den Grenzwerten finde ich übertrieben. Einzig kritischer Punkt ist x=0. Und da man bei (b) dort keinen Knoten reinlegt, scheitert man. Dann ist f nicht der zugehörige Spline. natürlich kann ich durch die Punkte f(-1) und f(1) ein lin. Polynom legen. Nur passt das nicht zu der Funktionsvorschrift von f. Die Argumentation mit "Kein Polynom" finde ich seltsam.

26.12.2009, 09:37

Oleg H.

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RE: Lineare Splines

Zitat:

Original von tigerbine

Als Werte in den Knoten nehmen wir dann Funktionswerte von f. Solange wir in [-2,0) oder (0,1] bleiben,alles kein Problem. Dort sind die Funktionen linear und wir bekommen als Restriktionen (Polynomstücke des Splines) ja auch diese Linearen Teile raus.

Lineare Splines sind doch Polynome, die gegebene Stützpunkte paarweise interpolieren.
Daher muss man doch quasi immer den Übergangswert von zwei Intervallen untersuchen, oder?
Die Übergangsstelle ist hier x=0, weil beide "Teilfunktionen" sich hier schneiden, oder?

Zitat:

Da f keine Sprungstelle hat bei X=0, haben wir bei (a) einen linearen Spline. Das mit den Grenzwerten finde ich übertrieben. Einzig kritischer Punkt ist x=0. Und da man bei (b) dort keinen Knoten reinlegt, scheitert man. Dann ist f nicht der zugehörige Spline. natürlich kann ich durch die Punkte f(-1) und f(1) ein lin. Polynom legen. Nur passt das nicht zu der Funktionsvorschrift von f. Die Argumentation mit "Kein Polynom" finde ich seltsam.

Ich verstehe bei (a) nicht genau, warum man $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} s1(x)=0,5=s1(-1) \end{eqnarray*}$ angucken muss und nicht quasi ist gleich s2(-1)... irgendwie hatten wir immer den lim von s1 betrachtet und ihn dann mit dem funktionswert von s2 verglichen und umgekert, hoffe es ist verständlich was ich meine.

Bei (b) macht man dann nämlich genau das was ich auch bei (a) getan hätte und zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} s1(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ , aber s2(-1)=1 setzen.
Was hat da sgenau mit dem fehlenden Knoten bei 0 zu tun, wenn man hier gerade -1 betrachtet?

Danke schonmal

27.12.2009, 01:05

tigerbine

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RE: Lineare Splines
Splines sind stückweise polynomiale Funktionen. Man wird von einem SPline Stetigkeit fordern. Daher, da man einem x-Wert nur einen Funktionswert zuordnen kann, muss man sich von einer Seite eben mittels Grenzwert annähern.

Bei (a) ist das nur bei x=0 wichtig. Denn die Funktion f ist ansonsten schon linear und die Spline-Polynome stimmen mit f über ein. Es ist formal korrekt, aber überflüssig dort die Grenzwertbetrachtungen zu machen.

Kannst du mir mal aufschreiben, wie DU die Aufgabe lösen würdest. Die Musterlösung scheint mir übertrieben zu sein. Dann könnten wir mal besser schauen, was wichtig ist.

Wie würde denn der Datensatz aussehen, den man für die Splineberechnung jeweils nimmt?

30.12.2009, 14:58

Oleg H.

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Hi,

mein Ansatz sieht quasi dementsprechend aus, weil ich mich an einem Beispiel aus der Übung orientiert hatte.

Aber ich habe immernoch Probleme zu verstehen, warum (b) kein lineare Spline ist. Der Unterschied zwischen beiden Aufgaben ist ja nur, dass x=0 bei (a) ein Knoten ist und bei (b) nicht...

Aber allgemein ist ein Spline doch ein Polynom vom Grad k, dass ein Intervall $\begin{eqnarray*} \tau=\{[x_0,x_1], [x_2,x_3],..., [x_{n-1},x_n]\} \end{eqnarray*}$ auf jedem dieser Teilintervalle einzeln interpoliert, oder? Warum muss ein Spline eigtl. [latex]\in C^{k-1}([a,b])/latex] sein?

31.12.2009, 00:22

tigerbine

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Ein linearer SPline ist doch einfach nur wie "Malen nach Zahlen". Nun trage zu (a) und (b) nur die Knoten und zugehörigen Werte in ein Koordinatensystemein. Dann verbinde sie durch Striche. Was stellst du fest?

Bei (a) kommt der Graph von f raus, bei (b) nicht.

Verstehst du das?

31.12.2009, 11:29

Oleg H.

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Für (a) lauten die Knoten doch: (x0,x1,x2,x3) = (-2,-1,0,1)
Dann lauten die Stützwerte: (f0,f1,f2,f3) = (0; 0,5 ; 1 ; 1,5)

Für (b) lauten die Knoten: (x0,x1,x2) = (-2,-1,1)
Und die Stützwerte: (f0,f1,f2) = (0; 0,5; 1,5)

Ergibt das nicht beidemale die Gerade von f(x)? traurig

31.12.2009, 11:56

tigerbine

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Meine Güte, mal es doch einfach. Und vor allem, nimm doch die richtigen Punkte...bzw. Funktionswerte unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}(x+2)/2, & \text{ }x\in[-2,0]\text{ }\\1, & \text{ }x\in(0,1]\text{ } \end{cases} \end{eqnarray*}$

[attach]12717[/attach][attach]12718[/attach]

31.12.2009, 14:28

Oleg H.

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Danke, jetzt ist es mir klar geworden.

31.12.2009, 14:37

tigerbine

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Bitte.

31.12.2009, 14:58

Oleg H.

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Eine kleine Frage wäre mir jetzt doch noch eingefallen:

Wenn ich so eine "geteilte" Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}(x+2)/2, & \text{ }x\in[-2,0]\text{ }\\1, & \text{ }x\in(0,1]\text{ } \end{cases} \end{eqnarray*}$ habe.

Kann man dann immer generell sagen, dass wenn man ein Intervall hat z.B. [-1,1], welches sowohl in der ersten als auch in der zweiten "Teilfunktion" liegt keinen Spline definiert? Weil $\begin{eqnarray*} -1 \in [-2,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \in (0,1] \end{eqnarray*}$

31.12.2009, 15:30

tigerbine

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Sagen wir es so, die Chancen stehen dann schlechter, dass f den Spline darstellt. Augenzwinkern

Es kommt auf die Gestalt der Teilfunktionen an.

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