Wie bestimme ich das Volumen von sich schneidenden Kreiszylindern mit unterschiedlichem Radius

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student76 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bestimme ich das Volumen von sich schneidenden Kreiszylindern mit unterschiedlichem Radius
hallo zusammen,

ich habe das problem das ich zwei Kreiszylinder habe deren längsachsen sich senkrecht schneiden. Ich brauch nun das Volumen von dem ganzen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie bestimme ich das Volumen von sich schneidender Kreiszylinder mit unterschidlichem radius
Hallo!

Kannst du die Situation konkreter beschreiben, wie muss man sich das genau vorstellen? Was ist gegeben?

Und nicht zuletzt, was hast du dir dazu bereits überlegt?

Grüße Abakus smile
 
 
student76 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie bestimme ich das Volumen von sich schneidender Kreiszylinder mit unterschidlichem radius
ich muss ne studienarbeit schreiben und komme an diesem Punkt nicht weiter.
hier ist eine Skizze von dem Schnittkörper:
http://www.bilderhost.eu/bild.php/1498,zeichnung2J0WMB.jpg

wenn ich das richtig verstanden habe müsste ich ein dreifachintegral machen aber das ist zu hoch für mich!!!


edit: Bilder bitte als Dateianhang direkt in den Thread hochladen!
Ich habe dies hier eingefügt.
LG sulo

[attach]12656[/attach]
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wie bestimme ich das Volumen von sich schneidender Kreiszylinder mit unterschidlichem radius
Sind das alle Maße, die gegeben sind? Wir brauchen zB mindestens die Höhen noch. Stehen die Zylinder einfach nur aufeinander oder stecken die ineinander? Wenn ja, wie?

So sieht die Aufgabe recht unvollständig aus.

Grüße Abakus smile
Tom Servo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ist denn das rechnerische Ermitteln des Volumens wesentlicher Teil der Studienarbeit?
Das ist ja eine Zylinderdurchdringung, dessen Volumen sollte mit jedem besseren CAD-Programm ermittelt werden können. Vielleicht ist das ja eine Alternative.
Gruß, Tom
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde, dass die Höhe laut Zeichnung zunächst einmal sekundär ist, da man die Bereiche ohnehin festlegen kann. Falls die wahre Höhe nicht ausreicht, brauchen nur "normale" Zylinder addiert werden.
Ich hätte jetzt Durchmesser=Höhe angesetzt...
LGR
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann gibt es eine neue Zeichnung mit mehr Bemaßung:

Der Zylinder mit kleinerem Radius wird vom großen geschnitten.
Das mit CAD würde ich auch machen aber die wollen das ganze variabel haben.
Also jederzeit mit verschiedenen Durchmessern, Längen usw.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht schon gut aus Augenzwinkern .

Interessant wäre jetzt, das Ganze um 90° zu drehen, und einen Schnitt zu haben (der untere Schnitt wäre ein Kreis, der obere dann ein "Fast-Rechteck", welches durch den Kreis etwas "ausgehöhlt" ist; der Schnitt müsste genau durch die Mitte des kleinen Zylinders gehen). Ich hoffe, du verstehst, was ich gerade meine.

Auch hier wäre es wichtig, etwas über die Bemaßung rauszukriegen: wie weit "geht" der Kreis in den Zylinder rein?

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hier kommt noch eine Zeichnung
hoffe das mit dieser dann aller unklarheiten beseitigt sind smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

OK, interessant ist jetzt die linke Zeichnung. Du kannst den Kreismittelpunkt M jeweils mit den äußeren Schnittpunkten (die könnte man A und B nennen) verbinden. Dann hättest du ein gleichseitiges Dreieck mit bekannter Grundseite.

Daraus lässt sich die Höhe von ABM und damit auch die Höhe des "abgeschnittenen" Kreisteils ermitteln. Vielleicht ist auch noch der Winkel AMB interessant.

Jedenfalls ist dieses Dreieck zunächst mal Startpunkt für einige Berechnungen.

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Ahnung was mir dieses Dreieck bringen soll.
vor allem ändert sich das dreieck ja auch noch wenn man sich von der Achse hinweg bewegt.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student76
Ich habe keine Ahnung was mir dieses Dreieck bringen soll.
vor allem ändert sich das dreieck ja auch noch wenn man sich von der Achse hinweg bewegt.


Meine Idee ist folgende: wenn du den Flächeninhalt des "abgeschnittenen" Kreisstücks für jedes mögliche Dreieck ABM (etwa dann in Abhängigkeit von AB) angeben könntest, hättest du auch das Volumen des Durchschnittes der beiden Zylinder.

Es ist eine Anwendung des Cavalieri-Prinzips (Wiki).

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »



liege ich mit diesem Ansatz richtig?

irgendwie bekomme ich die formel mit dem editor nicht hin
sorry

edit(Abakus): Latex
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Da bist du mir mehrere Schritte voraus: was ist f, r, und x und wie kommst du auf das Integral?

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mir das ich erst einmal den x/2 wert bestimme.
da ja x/2 abhängig ist von alpha und r habe ich sie zu der formel zusammengefasst.

\sin(\frac{\alpha }{2}) = \frac{\frac{x}{2} }{r}
\Rightarrow \frac{x}{2} = r\cdot \sin(\frac{\alpha }{2} )
student76 Auf diesen Beitrag antworten »


bin mal gespannt ob das klappt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht es übrigens aus, wenn sich zwei kongruente Zylinder orthogonal wechselseitig durchdringen. Das Bild zeigt den Schnittkörper. Die Schnittflächen orthogonal zur Hoch-Tief-Richtung sind Quadrate.

[attach]12677[/attach]
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest lässt sich nun die Fläche des oberen Kreissegments angeben:

Fläche des Kreissektors - Dreiecksfläche




Damit (richtig gerechnet?):



Darauf wäre jetzt geeignet das Prinzip von Cavalieri anzuwenden.

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der ersten Formel kann man zunächst pi rauskürzen.
bei der Fläche für das Dreieck muss auch ein fehler sein glaube ich zumindest.



laut meinen ergebnissen müsste die formel für die fläche so lauten
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab eine 2 zuwenig geschockt (und nur eines der Dreiecke genommen), richtig ist demnach:

Fläche des Kreissektors - Dreiecksfläche






Und damit:



Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Abakus,

ich bin der Meinung das man den Cavalieri nicht benutzen kann da die Schnittflächen nicht den gleichen Flächeninhalt haben.
wenn man sich den Körper anschaut den Leopold eingefügt hat sieht man das die Flächen unterschiedlich sind.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von student76
ich bin der Meinung das man den Cavalieri nicht benutzen kann da die Schnittflächen nicht den gleichen Flächeninhalt haben.


Macht ja nichts, das ist für den Satz v. Cavalieri keine Voraussetzung. Siehe dazu nochmals hier (Wiki).

Du musst jetzt einfach überlegen, wie deine "Querschnittsfunktion" genau aussieht.

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

OK wenn ich richtig überlegt habe müsste ich jetzt von dem Rechteck ABCD die von uns berechnete Fläche abziehen.
Die Strcke AB müsste dann so lauten:


wenn ich dann erstze komme ich auf:

Rechteck ABCD wäre dann x*AB:

und um auf die Fläche die ich brauche zu kommen muß ich jetzt von der Rechtecksfläche die Fläche vom Kreissegment abziehen


liege ich mit dieser formel richtig?

wenn sie stimmt müsste ich das ganze nur noch integrieren im Bereich des Durchmessers vom kleinen Zylinder
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

hier das passende bild zu dem Text
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Zeichnung; so ist klar, wo die Punkte C und D liegen sollen.

Zitat:
Original von student76
OK wenn ich richtig überlegt habe müsste ich jetzt von dem Rechteck ABCD die von uns berechnete Fläche abziehen.
Die Strcke AB müsste dann so lauten:


Ich weiß zwar nicht, wie du drauf kommst, es scheint aber richtig zu sein. Ich komme auf:



Mit R bezeichne ich hier den Radius des großen Zylinders (vorher war das r), r ist jetzt der Radius des kleinen Zylinders.

Natürlich kannst du weiterrechnen und das einsetzen, ja. Meine Idee hier war eine andere, nämlich einfach mit einer Querschnittsfunktion aus den Flächen der Kreissegmente das damit gebildete Volumen V auszurechnen.

Wenn du V kennst, bist du fertig, denn V(gesamt) = V(großer Zylinder) + V(kleiner Zylinder) - V(Kreissegmente).

Integrieren müsstest du für V(Kreissegmente) dann zB von 0 bis r, dabei die Symmetrie ausnutzend:



Das y läuft dabei längs des Radius des kleinen Zylinders (senkrecht zu dem x).

Jetzt brauchst du eine Abhängigkeit zwischen y und x, ich denke, es ist:

bzw.

Das wäre jetzt in



einzusetzen und dann zu integrieren.

Ich habe allerdings ziemliche Probleme, mir das 3-dimensional vorzustellen. Daher sehe es mal als Idee auf einem Schmierzettel an, die noch viel näher untersucht und erstmal verifiziert werden müsste.

Grüße Abakus smile
student76 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte mich nur nochmal herzlich bedanken für deine unterstützung Abakus.
Finde es toll das es noch hilfsbereite Menschen gibt

mfG

student76
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