Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

26.12.2009, 12:02

Tarnfara

Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Hallo, einmal mehr, meine Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie alle in 0 stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die der Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} f(u+v)=f(u)+f(v) \; \forall u,v \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ genügen.

Was passiert, wenn die Stetigkeitsvoraussetzung fallengelassen wird ?

Hinweis: R ist ein Q-Vektorraum, hat also insbesondere eine Basis.

Zunächst zum ersten Teil der Aufgabe. Da ich keinen brauchbaren Ansatz finde, habe ich mir zuerst einmal überlegt, was es da für Funktionen geben könnte, um das Problem irgendwie zu verstehen, dabei bin ich auf folgende gekommen:

$\begin{eqnarray*} f_i: \mathbb R \to \mathbb R \;\; f_1(x) = x, \;\;f_2(x) = -x, \;\;f_3 (x) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir in der linearen Algebra einige Aufgaben vom Typ "bestimme alle Gruppenhomomorphismen" gehabt, allerdings stets auf endlichen Mengen. Es fällt mir schwer, mir vorzustellen, wie ich "alle" entsprechenden Abbildungen sinnvoll ermitteln könnte. Bei endlichen Mengen würde ich so vorgehen, dass ich weiß, dass a) die 0 auf die 0 abgebildet wird und b) ich nun einfach alle Möglichkeiten für die 1 durchgehe, da sich daraus alle weiteren Punkte (Vektoren ?) durch Addition ergeben.
Da R unendlich viele Elemente enthält, werde ich damit wohl eher weniger zum Ziel kommen.
Allerdings könnte ich aufgrund der Homomorphieeigenschaft wohl sagen, dass jede dieser Funktionen an der Stelle 0 den Funktionswert 0 haben muss. Es gelingt mir jedoch nicht, dass brauchbar in Zusammenhang mit der Stetigkeit zu bringen.

Als nächstes habe ich versucht, mir mal solche Funktionen zu bauen, die zwar die Funktionalgleichung erfüllen, aber eben nicht stetig in 0 sind. Fehlanzeige. Dann habe ich versucht, einfach nur noch Funktionen zu konstruieren, die die Funktionalgleichung erfüllen und nicht solche Geraden durch den Nullpunkt sind, wie die oben, ohne mich weiter um die Stetigkeit zu kümmern, kam aber auch nicht wirklich weiter.

Nun sitze ich vor der Aufgabe mit einem großen Fragezeichen über dem Kopf und frage mich, wie ich da weiter dran gehen kann ? Über die zweite Aufgabe habe ich noch gar nicht nachgedacht, da ich erstmal gern die erste lösen würde.

Beste Grüße,

C.

26.12.2009, 21:01

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen
Hallo!

Was sagst du zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Gilt die zB für rationale Alpha?

Grüße Abakus smile

26.12.2009, 23:13

Tarnfara

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Abakus
Hallo!

Was sagst du zu folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot f(x) \end{eqnarray*}$

Gilt die zB für rationale Alpha?

Grüße Abakus smile

Hehe ! Erst dachte ich, weiß doch gar nicht, ob die Abbildung linear ist,
aber halt, ich weiß ja dann doch ein wenig mehr über die beteiligten Verknüpfungen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = f\left(q\cdot \frac{1}{q}x\right) = f\left( \sum_{n=1}^q \frac{1}{q}x\right) = q\cdot f\left(\frac{1}{q}x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{q}\cdot f(x) = f\left(\frac{1}{q}\cdot x\right) \end{eqnarray*}$

Für rationale $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann ich O.B.d.A $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{p}{q}\;\; \end{eqnarray*}$ , p, q aus Z und teilerfremd annehmen und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha x) = f \left(\frac{p}{q}x\right) = \frac{1}{q}\cdot f\left( \sum_{n=1}^p x\right) = \frac{p}{q}\cdot f(x) = \alpha f(x) \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich, dass meine Funktion überall stetig ist ?
Denn in R gilt: f stetig in a gdw. f folgenstetig in a.

Also f folgenstetig in 0 und damit für eine beliebige Folge und beliebigen aber festen Punkt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n = x \Rightarrow \lim_{n\to\infty}x_n-x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}f (x_n - x )=0 \Rightarrow \left| f( x_n - x) \right| < \epsilon \Rightarrow \left| f(x_n)-f(x)\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

So und nun ? In der Zwischenzeit habe ich die Vermutung gewonnen, dass es sich um alle Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = mx \end{eqnarray*}$ handelt und ich das irgendwie aus der Stetigkeit herleiten muss.

*grübel*

Was es mit der Basis von R als Q VR auf sich hat, will mir auch nicht in den Kopf.

Danke schonmal,

C.

27.12.2009, 13:34

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Tarnfara
So und nun ? In der Zwischenzeit habe ich die Vermutung gewonnen, dass es sich um alle Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = mx \end{eqnarray*}$ handelt und ich das irgendwie aus der Stetigkeit herleiten muss.

*grübel*

Was es mit der Basis von R als Q VR auf sich hat, will mir auch nicht in den Kopf.

Deine Beweise über die $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ - Linearität führst du am Besten per Induktion.

Ansonsten findest du in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sicher Folgen, die gegen eine vorgegebene irrationale Zahl x konvergieren. Darauf jetzt die Folgenstetigkeit angewendet, und du kannst f(x) angeben.

Die Basis brauchst du, um die letzte Frage zu beantworten. Hier besteht die Basis zB aus der 1 und unendlich vielen irrationalen Zahlen. Eine lineare Abbildung in einem Vektorraum ist durch die Werte auf einer Basis festgelegt.

Grüße Abakus smile

27.12.2009, 15:25

Tarnfara

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Abakus

Ansonsten findest du in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sicher Folgen, die gegen eine vorgegebene irrationale Zahl x konvergieren. Darauf jetzt die Folgenstetigkeit angewendet, und du kannst f(x) angeben.

Danke für deine Antwort !

Also einerseits gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\alpha_n \cdot 1) = \alpha_n \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(\alpha_n) = f(x) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{n\to\infty} (\alpha_n \cdot f(1)) = f(1) \cdot \lim_{n\to\infty} \alpha_n = f(1)\cdot x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Basis brauchst du, um die letzte Frage zu beantworten. Hier besteht die Basis zB aus der 1 und unendlich vielen irrationalen Zahlen. Eine lineare Abbildung in einem Vektorraum ist durch die Werte auf einer Basis festgelegt.

Ich habe also aus meiner Anfangsbedingung (Funktion in R, die stetig ist und Funktionalgleichung erfüllt) einen Endomorphismus auf R gemacht, wenn ich R als Q-Vektorraum auffasse [Dieser Raum ist der Raum aller Cauchyfolgen in Q modulo Nullfolgen ?].

In der letzten Vorlesung vor den Ferien hatten wir noch einen Satz in Lina, dass man zu jeder Basis eines VR V und jeder Teilmenge eines VRs W genau einen Homomorphismus findet, der jedem Basisvektor genau einen Vektor aus der Teilmenge von W zuordnet. Dabei muss die Basis allerdings endlich sein und die Teilmenge aus W gleichviel Elemente enthalten.

Dass eine lineare Abbildunge eindeutig festgelegt ist, wenn ich die Basisvektoren festgelegt habe, leuchtet ein, da ich ja jeden weiteren Vektor daraus kombinieren kann.

Unklar ist mir, woher du die Aussage nimmst, dass zB. die 1 und unendlich viele irrationale Zahlen eine Basis bilden. Die 1 erzeugt alle rationalen Zahlen, kein Problem, aber wie weise ich denn nach, dass meine irrationalen Basisvektoren alle anderen Zahlen in R erzeugen geschweige denn, dass das unendlich viele sein müssen.
Wir haben R bislang als "gefordert" (Körper, angeordnet, Dedekindscher Schnitt) und als Vervollständigung von Q kennengelernt. Letzteres auch nur in einer Übungsaufgabe, die leider nicht besprochen wurde.

Selbst, wenn ich diese Aussagen als gegeben hinnehme, leuchtet mir da noch keine Konsequenz für meine linearen Abbildungen ein. Im Moment kann ich da nur spekulieren, dass ich unendlich viele Basen haben könnte (einfach einen Vektor austauschen) und entsprechend unendlich viele Abbildungen dazu festlegen könnte, in dem ich einfach jedem Basisvektor irgendein Bild zuweise ?

Gruß,

C.

27.12.2009, 22:34

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Tarnfara
Unklar ist mir, woher du die Aussage nimmst, dass zB. die 1 und unendlich viele irrationale Zahlen eine Basis bilden. Die 1 erzeugt alle rationalen Zahlen, kein Problem, aber wie weise ich denn nach, dass meine irrationalen Basisvektoren alle anderen Zahlen in R erzeugen geschweige denn, dass das unendlich viele sein müssen.
Wir haben R bislang als "gefordert" (Körper, angeordnet, Dedekindscher Schnitt) und als Vervollständigung von Q kennengelernt. Letzteres auch nur in einer Übungsaufgabe, die leider nicht besprochen wurde.

Es reicht einfach der Satz, dass jeder VR eine Basis besitzt, aus. Z.B. aus Abzählbarkeitsgründen muss diese Basis mindestens unendlich sein.

Das sollte hier aber nicht zu beweisen sein, denn es geht ja um die Funktionalgleichung als solche.

Zitat:

Selbst, wenn ich diese Aussagen als gegeben hinnehme, leuchtet mir da noch keine Konsequenz für meine linearen Abbildungen ein. Im Moment kann ich da nur spekulieren, dass ich unendlich viele Basen haben könnte (einfach einen Vektor austauschen) und entsprechend unendlich viele Abbildungen dazu festlegen könnte, in dem ich einfach jedem Basisvektor irgendein Bild zuweise ?

Es reicht vermutlich bereits, die 1 auf die 1 abzubilden und alle Bijektionen auf den restlichen Basiselementen zu betrachten. Hier ist dann nachzuweisen, dass dadurch Abbildungen definiert werden, die die Funktionalgleichung erfüllen.

Grüße Abakus smile

28.12.2009, 12:19

Tarnfara

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Abakus
Es reicht einfach der Satz, dass jeder VR eine Basis besitzt, aus. Z.B. aus Abzählbarkeitsgründen muss diese Basis mindestens unendlich sein.

Das sollte hier aber nicht zu beweisen sein, denn es geht ja um die Funktionalgleichung als solche.

Naja, unser Prof. ist da etwas "eigen". Das kommt durchaus öfter vor, dass man irgendwas grundlegendes, das andere Studiengänge als normalen Stoff behandeln für eine Übungsaufgabe mitbeweisen muss, obwohl man nie zuvor davon gehört hat.
Bislang gabs jedenfalls immer mindestens 50% Punkte Abzug, wenn man irgendwas nicht ganz genau belegen konnte.

Ich habe mal das Skript durchsucht und an dieser Stelle, wie schon früher nichts über Abzählbarkeit finden können, wurde auch schon öfter darauf hingewiesen, dass das ein bisschen "komisch" ist, dass wir das Thema nicht behandelt haben.
Dafür haben wir vor recht kurzer Zeit erst nachgewiesen, dass e transzendent ist.

Kann man so argumentieren? : Da e transzendent ist, muss $\begin{eqnarray*} a_1 e \end{eqnarray*}$ zu meiner Basis gehören. Da e nicht in den rationalen Zahlen liegt, muss weiterhin auch $\begin{eqnarray*} a_2 e^2 \end{eqnarray*}$ dazugehören, usw, so dass für eine angenommene Basis gilt: $\begin{eqnarray*} \left| B \right| \ge \left| \mathbb N \right| = \infty \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} \infty \ge x \; \forall x \in \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ muss auch schon $\begin{eqnarray*} \left|B \right| = \infty \end{eqnarray*}$ gelten ?

Sieht für mich jetzt irgendwie ein bisschen zu simpel aus. :-(

Zitat:

Diese Anmerkungen haben ich jetzt so aufgefasst, dass $\begin{eqnarray*} \phi (0) = 0 , \; \phi (1) = 1 \end{eqnarray*}$ und die restlichen Basiselemente irgendwie permutiert(?) werden.
Als nächstes leite ich aus der Permutation eine allgemeine Abbildungsvorschrift her, indem ich einfach fordere, dass Q-Linearität gegeben ist, sei also $\begin{eqnarray*} \phi (v_i) = (v_j) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \phi (u) = \phi \left(\sum'\alpha_iv_i\right) = \sum' \alpha_i \phi(v_i) = \sum' \alpha_i v_j \end{eqnarray*}$

Die Indizes sind jetzt etwas komisch geraten, aber ich hoffe, dass man sieht, was gemeint ist. (Wie mache ich denn das Zeichen für endliche Summe ?)
Diese Abbildungen erfüllen auf jeden Fall die Funktionalgleichung, sind ja linear. Dabei scheint es mir auch egal zu sein, wohin ich die 1 abbilde.

Bei einer endlichen Menge hätte ich jetzt gesagt, dass es n! Permutationen gibt, aber mit oo! zu argumentieren, ist wohl einfach falsch.

Vielen Dank,

C.

edit: Wenn ich den Satz aus Lina von letzter Woche nicht völlig falsch verstanden habe, dann müßte es darüberhinaus sogar noch mehr verschiedene Abbildungen geben. Ich brauche nicht unbedingt auf Basisvektoren abzubilden, sondern einfach auf irgendeine Menge. Die Abbildungen oben wären halt nur freundlicherweise Isomorphismen.
Ich vermute allerdings, dass es nicht ok ist, zu sagen, dass die Basis zwar unendlich ist, jeder Vektor aber nur endlich erzeugt wird ?

28.12.2009, 19:06

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Tarnfara
Naja, unser Prof. ist da etwas "eigen". Das kommt durchaus öfter vor, dass man irgendwas grundlegendes, das andere Studiengänge als normalen Stoff behandeln für eine Übungsaufgabe mitbeweisen muss, obwohl man nie zuvor davon gehört hat.
Bislang gabs jedenfalls immer mindestens 50% Punkte Abzug, wenn man irgendwas nicht ganz genau belegen konnte.

Letzteres ist ja durchaus berechtigt und viele (gute) Mathematiker sind da etwas "eigen", ja. Der Satz, dass jeder VR eine Basis hat, gehört jedoch eher in die Lineare Algebra und ist zum Auswahlaxiom äquivalent. Die Beweisskizze steht zB bei Basis (Wiki).

Zitat:

Ich habe mal das Skript durchsucht und an dieser Stelle, wie schon früher nichts über Abzählbarkeit finden können, wurde auch schon öfter darauf hingewiesen, dass das ein bisschen "komisch" ist, dass wir das Thema nicht behandelt haben.
Dafür haben wir vor recht kurzer Zeit erst nachgewiesen, dass e transzendent ist.

Den kompletten Beweis verwirrt

? Nicht schlecht (du meinst nicht etwa den Irrationalitäts-Beweis?).

Zitat:

Kann man so argumentieren? : Da e transzendent ist, muss $\begin{eqnarray*} a_1 e \end{eqnarray*}$ zu meiner Basis gehören.

Nein, es könnte ja auch $\begin{eqnarray*} a_1 e - 1 \end{eqnarray*}$ in der Basis sein.

Zitat:

Als nächstes leite ich aus der Permutation eine allgemeine Abbildungsvorschrift her, indem ich einfach fordere, dass Q-Linearität gegeben ist, sei also $\begin{eqnarray*} \phi (v_i) = (v_j) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \phi (u) = \phi \left(\sum'\alpha_iv_i\right) = \sum' \alpha_i \phi(v_i) = \sum' \alpha_i v_j \end{eqnarray*}$

Die Indizes sind jetzt etwas komisch geraten, aber ich hoffe, dass man sieht, was gemeint ist. (Wie mache ich denn das Zeichen für endliche Summe ?)
Diese Abbildungen erfüllen auf jeden Fall die Funktionalgleichung, sind ja linear. Dabei scheint es mir auch egal zu sein, wohin ich die 1 abbilde.

Ja, natürlich kannst du die Basiselemente beliebig abbilden (ich hatte hier wohl eher an Isomorphismen gedacht).

Zitat:

edit: Wenn ich den Satz aus Lina von letzter Woche nicht völlig falsch verstanden habe, dann müßte es darüberhinaus sogar noch mehr verschiedene Abbildungen geben. Ich brauche nicht unbedingt auf Basisvektoren abzubilden, sondern einfach auf irgendeine Menge. Die Abbildungen oben wären halt nur freundlicherweise Isomorphismen.
Ich vermute allerdings, dass es nicht ok ist, zu sagen, dass die Basis zwar unendlich ist, jeder Vektor aber nur endlich erzeugt wird ?

Ja, genau. Jeder Vektor ist endliche Linearkombination von Basiselementen, das ist die Definition. Es gibt allerdings auch andere Basisbegriffe, wo das anders ist.

Grüße Abakus smile

28.12.2009, 20:13

Tarnfara

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Abakus
Letzteres ist ja durchaus berechtigt und viele (gute) Mathematiker sind da etwas "eigen", ja. Der Satz, dass jeder VR eine Basis hat, gehört jedoch eher in die Lineare Algebra und ist zum Auswahlaxiom äquivalent. Die Beweisskizze steht zB bei Basis (Wiki).

Dass jeder VR eine Basis hat, das hatten wir in der Tat bereits in Lina, da komme ich wohl drumherum. Ob ich nachweisen muss, dass R ein Q-VR ist, weiß ich nicht, vermute aber nicht, da es ja explizit im Hinweis steht.

Ich wollte auch nicht andeuten, dass ich die Methoden unseres Profs schlecht finde, gemessen an Linearer Algebra ist Analysis aber sehr viel schwerer und strenger.

Zitat:

Den kompletten Beweis verwirrt

? Nicht schlecht (du meinst nicht etwa den Irrationalitäts-Beweis?).

Du hast völlig recht, mea culpa. Die Transzendenz findet sich nur als Bemerkung mit Verweis auf einen Herrn Hermite ~1880.

Zitat:

[...]Ja, genau. Jeder Vektor ist endliche Linearkombination von Basiselementen, das ist die Definition. Es gibt allerdings auch andere Basisbegriffe, wo das anders ist.

Hmm !
Kann ich dann das ganze nicht stark vereinfachen ?
Q ist Teilmenge von R, also lässt sich leicht zeigen, dass R ein Q VR ist,
also hat R eine Basis, diese ist ein Erzeugendensystem, nach Konstruktion von oben kann ich für jedes Element in R eine andere Q-lineare Abbildung basteln und darüberhinaus noch einige mehr. Wenn also die Stetigkeitsvoraussetzung fallen gelassen wird, könnte man eigentlich überhaupt keine brauchbare Aussage mehr über diese Abbildungen treffen, abgesehen von der Linearität haben sie nicht zwangsläufig viel gemeinsam.

Aus reiner Neugier, weil mich das e-Problem nicht so ganz loslässt: Kann ich beim Basteln meiner Basis für jede Potenz von e ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[e] \end{eqnarray*}$ mit dem Grad der Potenz wählen ? Uff, wenn ich jetzt noch berücksichtige, dass die Potenz aus ganz R gewählt sein kann, wächst mir diese Basiskonstruktion ein wenig über den Kopf...

Ich danke dir herzlich,

28.12.2009, 23:57

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Tarnfara
Hinweis: R ist ein Q-Vektorraum, hat also insbesondere eine Basis.

Zu diesem Hinweis, der sieht doch so formuliert aus, dass du das benutzen darfst.

Zitat:

Aus reiner Neugier, weil mich das e-Problem nicht so ganz loslässt: Kann ich beim Basteln meiner Basis für jede Potenz von e ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[e] \end{eqnarray*}$ mit dem Grad der Potenz wählen ? Uff, wenn ich jetzt noch berücksichtige, dass die Potenz aus ganz R gewählt sein kann, wächst mir diese Basiskonstruktion ein wenig über den Kopf...

$\begin{eqnarray*} (1, e, e^2, e^3, ~...) \end{eqnarray*}$ ist eine linear unabhängige Familie, ja. Zu einer Basis wird das jedoch nicht reichen. Beliebige reelle Potenzen sind schwierig, woher willst du wissen, dass das nicht rational ist bzw. linear unabhängig wird?

Ich denke, die Basis musst du dir einfach (abstrakt) vorgeben.

Grüße Abakus smile

29.12.2009, 09:49

Tarnfara

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Zitat:

Original von Abakus
Zu diesem Hinweis, der sieht doch so formuliert aus, dass du das benutzen darfst.

Genau das meine ich mit "eigen". Aber ich habe einfach kurz nachgewiesen, dass es ein R VR ist. Geht ja sehr einfach.

Zitat:

Genauso habe ich es letztendlich auch gemacht, da für diese Aufgabe ja egal ist, wie die Basis aussieht oder wie viele Elemente sie hat.

Trotzdem finde ich das eine interessante Frage, im Moment stelle ich mir die Basis so vor, dass 1, alle Wurzeln aus Primzahlen und dann sämtliche Potenzen aller transzendenten Zahlen drin sind vereinigt mit einer Menge M, deren Inhalt ich nicht kenne (die auch leer sein könnte).

Da ich aber auch keine Zeit habe, mich damit weiter ausführlich zu beschäftigen, packe ich das zu den anderen Mathefragen, die vielleicht irgendwann einmal geklärt werden (in meiner Gehirnschublade), und wende mich den nächsten Aufgaben auf meinem Zettel zu.

Vielen lieben Dank für deine Antworten Mit Zunge

01.01.2010, 13:52

hojo

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ich sitze gerade über der selben aufgabe und ihr habt mir schonmal sehr geholfen :-)

Zum 2. Teilt: Wurzel 8 z.B. ist zwar keine Wurzel einer Primzahl aber müsste trotzdem mit zur Basis gehören denke ich.

Ich meine auch, das einzige was man über f sagen kann, ist es dass eine über Q lineare abbildung von R nach R ist. und damit wäre die aufgabe ja schon fertig, oder?

Kannst du mir noch einen Tipp geben, wie du f(1/q * x) = 1/q * f(x) gezeigt hast?

02.01.2010, 11:49

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: hi

Zitat:

Original von hojo
Zum 2. Teilt: Wurzel 8 z.B. ist zwar keine Wurzel einer Primzahl aber müsste trotzdem mit zur Basis gehören denke ich.

Nicht, wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ schon drin ist, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{8} = 2 \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Kannst du mir noch einen Tipp geben, wie du f(1/q * x) = 1/q * f(x) gezeigt hast?

Lese den Thread erstmal, vielleicht wirst du ja fündig.

Grüße Abakus smile

Neue Frage »

Antworten »

Gesucht: Alle Funktionen R->R, welche in 0 stetig sind und Funktionalgleichung erfüllen

Verwandte Themen