Wer kann mir bei Extremwertaufgaben helfen?

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27.12.2009, 01:21	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer kann mir bei Extremwertaufgaben helfen? Hallo Ich habe über die Ferien eine Komplexe MAthehausaufgabe bekommen und habe arbe Probleme bei der Aufgabe,wo es um Extremwerte gibt. Ich sag euch mal die Aufgabe und meine Ansätze. Aus einem quadratischen Stück Karton (Kantenlänge 20cm) soll durch Abschneiden von 4 Dreiecken das Netz einer Pyramide erzeugt werden. Wie groß ist die Kantenlänge der Pyramide zu wählen,damit das Volumen der Pyramide maximal wird? Also. Ich weiß ja,dass das Volumen der Pyramide gesucht wird,da es maximal werden muss. Und dann habe ich noch den Umfang vom Quader ausgerechnet also u=4a also in diesem Sinne 80. So. Und jetz weiß ich schon gar nicht mehr,wie und wo ich weiter machen soll. Ps.: Ich mag keine Lösungen haben sondern vllt ein paar kleine Ansätze,wie ich weiter rechnen muss. Muss die Aufgaben ja schließlich in den Prüfungen alleine,ohne eure Hilfe hinbekommen. Danke. Ich würde mich freuen,wenn mir jemand Tipps oder Tricks verraten kann. (somal es welche gibt) xD
27.12.2009, 09:20	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei Extremwertaufgaben helfen? Soll das Quadrat so eingeschnitten werden, wie es die Skizze in diesem Thread zeigt? Vielleicht findest Du da auch gleich einen Tipp; und die Volumenformel für die Pyramide kannst Du auch mal bereitlegen, denn die brauchst Du dann.
27.12.2009, 12:47	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.. Ja so ähnlich soll das aussehen. aber trotzdem komm ich damit nicht zurecht
27.12.2009, 13:24	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir können die Lösung mit dir zusammen erarbeiten. Es wäre allerdings schön, wenn du dann mal längere Zeit on wärst. Dann kann die Lösung in deinem Sinne gefunden werden. Zuerst solltest du eine Skizze anfertigen. Durch das Zeichnen erkennt man oft wichtige Zusammenhänge und das Verständnis für die Aufgabe wächst.
27.12.2009, 13:26	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
also die skizze ist ja schon gegeben^^ (bin neu hier und weiß leider nicht,wie ich sowas hier einfüge)
27.12.2009, 13:30	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine, du solltest sie selber zeichnen, schön altmodisch auf ein Blatt Papier. Vielleicht bekommst du dann Ideen für einen Ansatz .
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27.12.2009, 13:34	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
gemalt is die skizze^^ hmm..vllt sollte ich ersteinmal den umfang des quadrates berechnen? da ich ja schon die seitenlänge von 20cm gegeben habe? also wäre das ja dann u=80? jetzt ist eben das problem,dass ich nicht weiß,wie ich zu den dreiecken komme die ich ausschneiden soll?
27.12.2009, 13:36	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dich um die Pyramide kümmern. Schau mal, welche Zusammenhänge du da innerhalb des bekannten Quadrates erkennen kannst.
27.12.2009, 13:41	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
eben das problem besteht..ich schau auf die skizze und erkenne noch ein kleineres quadrat,aber zusammenhänge seh ich da keine. eventuell das die pyramdienspitze jeweils 20cm voneinander entfernt liege? ich weiß,ich stell mich echt doof an. aber ich sah wirklich paar stunden daran und hab immer das quadrat ausgerechnet und dann versucht in die volumengleichung der pyramide zu setzen
27.12.2009, 13:44	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, denn gebe ich mal ein paar Tipps.... Schau dir mal die Diagonale des großen Quadrates an. Du kannst sie ja ausrechnen. Wie setzt sich die Länge dieser Diagonale zusammen, wenn du das Pyramidenetz darin betrachtest?
27.12.2009, 13:53	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetzt mal die diagonale e;f ausgerechnet..also ich komme auf 28,4cm. durch die diagonale sind jetzt dreiceke in de rpyramide entstanden? ich hoffe,du meinst das...und der mittelpunkt der diagonale 14,2 cm und da is ja dann der mittelpunkt bzw. die mitte des kleinen quadrates? o.o
27.12.2009, 14:04	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, der Mittelpunkt stimmt, aber ist im Moment nicht wo wichtig. Ich habe mal die Diagonalen eingezeichnet (Gualtiero verzeiht mir hoffentlich ). Als Länge würde ich bei dem Wurzelausdruck $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} \end{eqnarray}$ bleiben. [attach]12660[/attach] Was kannst du in Bezug auf h_s (die Höhe über der Seite) der Pyramide und a (Grundseite) im Zusammenhang mit dem Durchmesser (edit: Ich meinte: Diagonalen) sagen? Hier solltest du eine Gleichung aufstellen.
27.12.2009, 14:10	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
also hs ist 13,2 cm und grundseite a=2 cm. abaer durchmesser? gibts den nicht immer nur im kreis?
27.12.2009, 14:14	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich meinte Diagonale (habe es mit d abgekürzt und falsch "übersetzt) Wie kommst du denn auf die konkreten Werte? Genau das sollte doch erst berechnet werden... Zur Gleichung: Die Diagonale ist ja $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} \end{eqnarray}$ cm lang, und sie setzt zusammen aus einmal a und zweimal h_s.
27.12.2009, 14:29	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja,dass wie sich die diagonale zusammensetzt hab ich ja jetzte endlich verstanden aber wie ich auf die werte komme,weiß ich nicht. da ich ja keine grundseite gegeben habe (da diese ja gesucht ist) und hs durch meinen ablesungen 13,2cm (also abgelesen,hab es mal so gezeichnet,mit den 20cm des quadtraes und so) weil ich auch nicht da weiß,wie ich überhaupt nur anähertn auf einen wert komme. ist einfach das problem bei mir,dass ich die ganze aufgabe gar nicht bzw. nur ganz wenig verstehe. das mit der diagonale ok,aber der rest. hab keine ahnung.
27.12.2009, 14:34	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich ist es bei Extremwertaufgaben so, dass man eine Gleichung hat, die (in unserem Fall) maximiert werden soll. Es ist hier das Volumen der Pyramide: $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} a^2 \cdot h \end{eqnarray}$ Wir kennen weder a noch h, also müssen wir sehen, wie wir die Größen mit den vorhandenen Mitteln darstellen können. Bekannt ist also: $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} = a + 2\cdot h_s \end{eqnarray}$ Immherhin haben wir mal eine Gleichung mit a. Das h_s stört allerdings, denn es ist nun die dritte Unbekannte. Folglich brauchen wir noch eine Gleichung. Die erhalten wir durch die bekannte Beziehung von Höhe, Höhe über der Seite und halber Grundseite. Weißt du, welche Gleichung ich meine?
27.12.2009, 14:38	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
eventuell 1/2a mal hs?
27.12.2009, 14:41	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähh.... [attach]12661[/attach] Wie du hier siehst, geht das nicht ohne Pythagoras... (h_s ist auf dem Bild h' )
27.12.2009, 14:46	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok..pytagoras,hab ich mir auch hier auf mein blat gemalt..aber es ist ja keine größe gegeben also woher weiß ich dann,was welche größe is? ich hab hier irgendwas mit b²=13,2²-1² aba ich hab ja gerade mal wiede regemerkt,dass ich die grundseite noch nicht mal berechnet habe. ach ist das doof
27.12.2009, 14:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte eigentlich auf folgende Gleichung hinaus: $\begin{eqnarray} h_a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ Jetzt hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Die müssen nun so umgestellt werden, dass du zum Schluss in der Volumengleichung nur noch eine Variable stehen hast. Ich empfehle, das a^2 zu ersetzen, wenn du das h ersetzt, bekommst du einen Wurzelausdruck, der das Ableiten nicht unbedingt vereinfacht (Fehlerquelle ). edit: Du hast jetzt alle Gleichungen gegeben. Jetzt musst umgeformt und eingesetzt werden. Das kannst du selber mal probieren. Ich bin für etwa 1 Stunde weg, danach kann ich dir weiterhelfen. Wenn du sonst Hilfe brauchst, ist sicher auch ein anderer bereit, dich zu unterstützen. Bis später, Gruß, sulo
27.12.2009, 16:04	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin wieder da... Bist du weiter gekommen?
27.12.2009, 16:08	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz erhlich? hab erstmal ne pause gebraucht.. hab nur noch gleichungen und alles gesehen. hab mich mit einer anderen aufgabe beschäftigt um ein wenig zu entspannen. hab aber die 3 gleichungen V=1/3a²*h 20wurze2=a+2+hs und h²a=h2+(a/2)² aufgeschrieben. aber wie ich das nun so gestalten kann,dass ich auf was komme,weiß ich leider nicht
27.12.2009, 16:16	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... Zuerst wäre es gut, wenn du ein wenig mit dem Formeleditor (rechts, unter "Werkzeuge" ) vertraut wirst. Du musst einfach deine Ausdrücke in [ latex] .... [/latex ] -Klammern setzen. Schreiben wir die drei Gleichungen nochmal auf: $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} a^2 \cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} = a + 2\cdot h_s \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt die letzte Gleichung ein wenig umstellt: $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} - a = 2\cdot h_s \end{eqnarray}$ ... dann sollte es nicht mehr schwer sein, einen Ausdruck für h_s zu erhalten....
27.12.2009, 16:23	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
also hs= a+2-20\sqrt{x} 2 oder? da komme ich doch dann auf die hs?
27.12.2009, 16:30	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Ausdruck in die Latex-Klammern packen, also vorne [ Latex] und hinten [ /Latex] rankopieren So sieht dein Ausdruck aus: $\begin{eqnarray} h_s= a+2-20\sqrt{x} 2 \end{eqnarray}$ Das ist aber schräg... $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} - a = 2\cdot h_s \end{eqnarray}$ ich drehe die Gleichung mal um: $\begin{eqnarray} 2\cdot h_s = 20\sqrt{2} - a \end{eqnarray}$ dann teile ich durch 2: $\begin{eqnarray} h_s = 10\sqrt{2} - \frac{a}{2} \end{eqnarray}$
27.12.2009, 16:31	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
ach stimmt ja...die 2 gehört mit zu dem hs. sry.
27.12.2009, 16:34	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$
27.12.2009, 16:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt kannst du dies: $\begin{eqnarray} h_s = 10\sqrt{2} - \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ in diese Gleichung: $\begin{eqnarray} h_s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ einsetzen.
27.12.2009, 16:44	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
also : h²s= $\begin{eqnarray} 20\sqrt{2} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ + ( $\begin{eqnarray} \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ )²
27.12.2009, 16:51	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so nicht, lediglich der letzte Term ist richtig. Ich möchte dir das nicht aufschreiben, sondern erwarte, dass du diese Quadrierung selber schaffst. Überleg mal, so schwer ist das nicht.
27.12.2009, 16:55	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
dann eben =D h²+ ( $\begin{eqnarray} \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ )² = $\begin{eqnarray} 10\sqrt{2} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{a}{2} \end{eqnarray}$
27.12.2009, 17:03	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich setze mal ein, so wie ich es beschrieben hatte: $\begin{eqnarray} \left(10\sqrt{2} - \frac{a}{2} \right)^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ Quadrieren: $\begin{eqnarray} 200-a\cdot 10\sqrt{2} + \frac{1}{4}a^2 = h^2 + \frac{1}{4}a^2 \end{eqnarray}$ Darauf hättest du eigentlich selber kommen sollen....
27.12.2009, 17:06	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
vllt liegts auch daran,weil wir das noch nie so hatten. ich hab auch mal ne freundin gefragt,die is duch die ganzen gleichungen auch total durcheinander. hmm,danke für deine hilfe,aber ich werde mal mit ner freundin die sachlage bequatschen.
27.12.2009, 17:06	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
In welche Klasse gehst du denn? edit: Da du in dem anderen Thread eine Steckbriefaufgabe gepostet hast, bist du mit Sicherheit in der 11. Klasse. Die Formeln zum Berechnen eines Zylinders lernt man spätestens in der 10. Klasse, Pythagoras ist in der 9. dran und die binomischen Formeln, mit denen du auch Schwierigkeiten hattest, sind Stoff der 8. Klasse.... Somit solltest du mit den bisher durchgeführten Berechnungen keine Probleme haben.... edit 2: Da sich anscheinend hier nix mehr tut, schreibe ich mal die Ergebnisse auf, damit der Thread nicht offen bleibt. Wer sich nicht mit der Rechnung auseinandersetzt, wird mit den Lösungen wohl wenig anfangen können... Die Ergebnisse: $\begin{eqnarray} h_1 = 10\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_3 = 2\sqrt{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3 = 6\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V '' = - 6\sqrt{10} \end{eqnarray}$
28.12.2009, 21:45	Alex-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wer kann mir bei Extremwertaufgaben helfen? Ich gehe davon aus, dass die hier durchgeführte Berechnung für die Pyramide nicht das maximale Volumen hat, so wie es nach der Aufgabenstellung verlangt ist.
28.12.2009, 23:05	SiMoSandy	Auf diesen Beitrag antworten »
man,hast du dir viel mühe gemacht. wow. danke dafür. aber irgendwie komme ich mit der skizze nicht ganz so zu recht. und die seitenlänge wäre also 11,3cm..damit das volumen maximal wird? ok,damit ich ein anhaltspunkt habe. ich bedanke mich recht herzlich.
29.12.2009, 13:26	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
@Alex-Peter Danke für deinen Hinweis. Ich habe eine Weile gebraucht, bis ich meinen Fehler gefunden hatte. Das Ergebnis $\begin{eqnarray} h = 2\sqrt{10} \end{eqnarray}$ hast du ja auch, und da war es schon sehr erstaunlich, dass meine Grundseite einen anderen Wert als deine haben sollte. Letztendlich kam mein Ergebnis wie folgt zustande: Ich habe dies in meinen Taschenrechner eingegeben, um a zu berechnen: $\begin{eqnarray} 10\sqrt{2}-((2\sqrt{10})^2:10\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ , das Ergebnis war $\begin{eqnarray} a = 6\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Tatsächlich muss ich aber noch eine Klammer setzen, damit die richtige Lösung rauskommt: $\begin{eqnarray} 10\sqrt{2}-((2\sqrt{10})^2: (10\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ , das Ergebnis war $\begin{eqnarray} a =8\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Der Taschenrechner behandelt also den Ausdruck $\begin{eqnarray} 10\sqrt{2} \end{eqnarray}$ nicht als einzige Zahl, sondern als Produkt. Ich habe also bei der ersten Rechnung nicht durch $\begin{eqnarray} 10\sqrt{2} \end{eqnarray}$ geteilt, sondern durch 10 geteilt und mit $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ multipliziert! Das war mir vorher noch nie passiert, der TR ist auch relativ neu, aber nun weiß ich um das Problem. Daher nochmals Danke für deinen Beitrag. Lieben Gruß, Susanne
29.12.2009, 20:00	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aufgabe vor längerer Zeit auch gelöst, habe aber das maximale Volumen dadurch bestimmt, dass ich den Einschnitt als abhängige Variable gewählt habe, und zwar mittig der Quadratseiten. Dieser beträgt exakt 2 cm. LGR
29.12.2009, 20:14	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn dein Ansatz für die Rechnung? Wäre interessant zu erfahren, ob der Weg einfacher ist als der von mir (und Alex-Peter, denke ich mal) gewählte.
29.12.2009, 21:04	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mit Latex hier auf Kriegsfuß, darum versuche ich es so.... Schwierig sind sie alle, weil man mit Wurzeln differenzieren muss. Ich habe sie alle mitgeführt, um auf das genaue Ergebnis zu kommen. V=1/3 Gh G drücke ich aus als 1/2 (20-2x)² = 200-40x+2x² h drücke ich aus als Wurzel aus (20x) V=sqrt(20x)*(200/3-40/3x+2/3x²) V'=0 liefert 10/3 x² -40x + 200/3 und somit 10 und 2 wobei 10 herausfällt

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