bedingter erwartungswert

27.12.2009, 18:53

gast008788

bedingter erwartungswert

hi,
laut meinem skript:

$\begin{eqnarray*} E(X|Y=y_k):=\frac{1}{P(Y=y_k)}\int_{Y=y_k}XdP \end{eqnarray*}$

seien jetzt X und Y diskrete Zufallsvariablen mit werten x1,...,xm und y1,...,yn:

es gilt ja dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{P(Y=y_k)}\int_{Y=y_k}XdP=\sum_{j=1}^{m}x_j\frac{P(X=x_j,Y=y_k)}{P(Y=y_k)} \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} \int_{Y=y_k}XdP=\sum_{j=1}^{m}x_j P(X=x_j,Y=y_k) \end{eqnarray*}$

und ab hier blick ich nicht mehr durch. mein ansatz bis jetzt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{Y=y_k}XdP=\int_{\{w\in \Omega |Y(w)=y_k\}}x\circ XdP=\int_{A}xdP_X \end{eqnarray*}$

ich vermute mal das der ansatz falsch ist, es wäre sehr nett wenn mir jemand mal die herleitung erklären könnte.
im endeffekt verstehe ich auch garnicht was man sich z.b unter

$\begin{eqnarray*} E(1_{B}X) \end{eqnarray*}$ genau vorstellen soll...

hab übrigens paar notationen nicht näher erklärt, sollte jemand sie nicht kennen einfach nachfragen...

danke

27.12.2009, 19:16

kiste

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RE: bedingter erwartungswert

Zitat:

Original von gast008788
$\begin{eqnarray*} \int_{Y=y_k}XdP=\sum_{j=1}^{m}x_j P(X=x_j,Y=y_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(1_{B}X) \end{eqnarray*}$

Das erste ist die Definition des Maß-Integrals.
Das zweite ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} 1_BX \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} E(1_{B}X) = \int_B XdP \end{eqnarray*}$

27.12.2009, 19:32

gast008788

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RE: bedingter erwartungswert

Zitat:

Das erste ist die Definition des Maß-Integrals.

hehe, das ist ne schöne antwort, wird wohl auch stimmen aber leider sehe ich es aus der defintion des maßintegrals nicht heraus.

Zitat:

Das zweite ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} 1_BX \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} E(1_{B}X) = \int_B XdP \end{eqnarray*}$

gut, das war ansich klar, aber kann man sich darunter irgendwas vorstellen?

ich seh noch nicht wirklich ein unterschied zwischen:

$\begin{eqnarray*} E(1_{B}X) = \int_B XdP \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X|B) \end{eqnarray*}$

es ist ja:

$\begin{eqnarray*} E(X|B)=\frac{1}{P(B)}E(1_{B}X) \end{eqnarray*}$

aber irgendwie werd ich daraus nicht schlau....

27.12.2009, 20:35

gast008788

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RE: bedingter erwartungswert
ok, jetzt glaub ich hab ich es gecheckt.
also:

$\begin{eqnarray*} \int_{Y=y_k}XdP=\int_{\{w\in \Omega |Y(w)=y_k\}}x\circ XdP=\int_{A}xdP_X=\sum_{x \in A}x\cdot P_X(x)=\sum_{x \in \Omega}x\cdot P_X(x\cap A) \end{eqnarray*}$

wobei das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X^{-1}(A)=\{w\in \Omega |Y(w)=y_k\} \end{eqnarray*}$
herkommt, nur so am rande...

und jetzt ist mir die gleichheit auch klar, da
$\begin{eqnarray*} \sum_{x \in \Omega}x\cdot P_X(x\cap A)=\sum_{j=1}^{m}x_j P(X=x_j,Y=y_k) \end{eqnarray*}$

notationstechnisch ist das glaub ich schon ziemilch unsauber aber ich ich hoffe doch mal das da kein denkfehler drin ist...
könnte die schritte eventuell jemand bestätigen?

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