Permutationsmatrix Gruppenhomomorphismus

28.12.2009, 01:44	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsmatrix Gruppenhomomorphismus Hallo, folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ der i-te Einheitszeilenvektor. Ist die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi: S_n \quad \rightarrow \quad GL(n, \mathbb{R})<br /> \sigma \quad \mapsto \quad E_\sigma= \begin{pmatrix} e_{\sigma(1)} \\ \vdots \\ e_{\sigma(n)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die einer Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die Permuationsmatrix $\begin{eqnarray} E_\sigma \end{eqnarray}$ zuordnet, ein Gruppenhomomorphismus? Zu zeigen ist : $\begin{eqnarray} \phi(\sigma \circ \tau)=\phi(\sigma) \cdot \phi(\tau) \end{eqnarray}$ , wobei sigma und tau Permutationen sind. Nur hab ich nicht wirklich den Plan WIE ich das zeigen soll. Meine Idee bisher ist zunächst das Produkt auszuschreiben. $\begin{eqnarray} \phi(\sigma) \cdot \phi(\tau)=\begin{pmatrix} e_{\sigma(1)} \\ \vdots \\ e_{\sigma(n)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_{\tau(1)} \\ \vdots \\ e_{\tau(n)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch die beiden Matrizen werden Abbildungen induziert nämlich zuerst, dass $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} e_{\tau(i)} \end{eqnarray}$ abgebildet wird und danach $\begin{eqnarray} e_{\tau(i)} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} e_{\sigma(\tau(i))}= e_{(\sigma \circ \tau)(i)} \end{eqnarray}$ Hieraus würd ich dann folgern, dass die Gleichheit $\begin{eqnarray} \phi(\sigma \circ \tau)=\phi(\sigma) \cdot \phi(\tau) \end{eqnarray}$ erfülllt ist. Ist das überhaupt ok so und reicht das? Gruß und Danke
28.12.2009, 06:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das passt so. Es ist aber zumindest ungewöhnlich dass du die Einheitsvektoren als Zeilenvektoren schreibst, dann musst du die Abbildungen nämlich von rechts operieren lassen
28.12.2009, 11:06	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einheitsvektoren als Zeilenvektoren sind in der Aufgabenstellung so vorgegeben. Im zweiten Teil der Aufgabe soll die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi': S_n \quad \rightarrow \quad GL(n,\mathbb{R})<br /> \sigma \quad \mapsto \quad E^t_{\sigma} \end{eqnarray}$ Einer Permutation wird jetzt also die transponierte Einheitsmatrix zugeordnet. Die Argumentation ist doch analog, dass dies auch ein Gruppenhomomorphismus ist, oder?
28.12.2009, 11:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ok. Dann ist es kein Homomorphismus. Denn dann operiert ihr wie gewöhnlich von links! Zeige dass Phi eine Antihomomorphismus ist, dann folgt aus den Rechenregel fürs Transponieren dass Phi' ein Homomorphismus ist
29.12.2009, 00:41	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, um zu zeigen, dass Phi kein Homomorphismus reicht es doch ein Gegenbeispiel anzugeben. Angenommen sigma sei (12), also 1. und 2. Einheitszeilenvektor werden vertauscht und tau sei (23). Dann werden sich ja folgende Bilder ergeben. $\begin{eqnarray} \phi(\sigma)= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&\dots&0 \\ 1&0&0&0&\dots&0\\0&0&1&0 &\dots&0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi(\tau)= \begin{pmatrix} 1&0&0&0&\dots&0 \\ 0&0&1&0&\dots&0\\0&1&0&0 &\dots&0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den Rest der Matrizen hab ich weggelassen, sind ja nur die Einheitsvektoren. Wenn ich jetzt die beiden Bilder multipliziere kommt raus. $\begin{eqnarray} \phi(\sigma)\cdot \phi(\tau)= \begin{pmatrix} 0&0&1&0&\dots&0 \\ 1&0&0&0&\dots&0\\0&1&0&0 &\dots&0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was nicht $\begin{eqnarray} \phi(\sigma \circ \tau)= \phi((123)) \end{eqnarray}$ entspricht, sondern $\begin{eqnarray} \tau \circ \sigma= (132) \end{eqnarray}$ somit wäre gezeigt, dass kein Homomorphismus vorliegt. Ok so?
29.12.2009, 16:58	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann einer kurz prüfen ob meine Begründung für Phi als Antihomomorphismus stimmt? Für Phi' hab ich ja die Lösung als Homomorphismus . Danke schonmal
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »