Gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig

28.12.2009, 03:10

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig

Es ist einfach zum Heulen...

Es gelingt mir einfach nicht, eine Funktionenfolge so zu konstruieren, dass die Menge aller Folgenglieder gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig ist.

Zusätzlich sollen die Funktionen auch noch beschränkt sein.

Bei meinen unzähligen Versuchen bin ich schließlich auf Funktionenfolgen, wie $\begin{eqnarray*} f_n(x):=Sin(\frac{\pi}{x}+n) \end{eqnarray*}$ gestoßen, welche zumindest nicht gleichmäßig gleichgradig stetig ist, aber wohl auch nicht gleichgradig stetig...
Außerdem sind Funktionen gesucht, die auf ganz IR definiert sind.

Also ich komme einfach nicht zu einer Lösung (deswegen sitze ich hier auch bis spät in die Nacht) und das nervt.

Eigentlich dachte ich ja, dass ich die Begriffe gleichgradig stetig und gleichmäßig gleichgradig stetig verstanden hab, allerdings hab ich nun gemerkt, dass ich mir doch nicht so richtig vorstellen kann, was sich hinter den Begriffen verbirgt.

Bei einer stetigen Funktion weiß ich, wie diese aussehen muss.
Wie kann ich mir eine gleichgradig stetige Funktionenmenge vorstellen? Also welche Bedingungen müssen erfüllt sein?

Sicherlich müssen alle Funktionen stetig sein und ich könnte mir auch vorstellen, dass die Ableitungen irgendwie begrenzt sein müssen.
Vielleicht kann hier jemand Licht ins Dunkel bringen.

Und hat denn jemand eine Idee zu der gesuchten Funktionenfolge?
Hier nochmal die Aufgabe:

Finde eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C_b(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ (die Menge aller stetigen, beschränkten Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), welche zwar gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig ist.

Hoffentlich kann jemand helfen Gott

Gott

Es macht mich fertig, wie man merkt...

Dankeschööön.
LG Max.

28.12.2009, 21:24

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig
Auch wenn der Beitrag oben recht lang ist, schreckt er euch hoffentlich nicht ab, denn er reduziert er sich auf 2 Fragen (die hab ich unterstrichen).

Mir ist auch über Nacht nichts weiter eingefallen.

Kann sich das bitte nochmal jemand anschauen?

29.12.2009, 19:30

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin gerade am Überlegen, ob es mit

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \left\{ \begin{split} \frac{\sin (nx)}{nx} \qquad &x \not= 0 \\ 1 \qquad & x=0 \end{split} \right. \end{eqnarray*}$

funktioniert. Zumindest gleichgradig stetig sollte es sein und meiner Meinung nach (hoffentlich) nicht gleichmäßig gleichgradig stetig. Aber von einem Beweis bin ich da auch noch weit entfernt.

Ich stelle mir gleichgradig stetig so vor, dass für jedes feste x der Anstieg von jeder Funktion aus der Funktionenfolge beschränkt ist. Und wenn es nun nicht gleichmäßig gleichgradig stetig sein soll, müsste der Anstieg aber für gewisse x gegen unendlich gehen.
(Was er in dem obigen Fall machen sollte, weil durch sin(nx) zur 0 hin für zunehmende n immer schnellere Oszillationen erzielt werden; die Funktion aber trotzdem immer für x=0 den Funktionswert 1 hat. Aber mh, bin auch noch am Grübeln, ob das wirklich so funktioniert.)

29.12.2009, 22:19

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte diese Funktion gleichgradig stetig sein?

Du betrachtest ja Punkte $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und willst zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt, für welches alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sind.
Dies setzt meiner Meinung nach tatsächlich voraus, dass der Anstieg jeder Funktion in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen gewissen Wert nicht übersteigt.

Betrachte ich nun aber ein $\begin{eqnarray*} x_0 \rightarrow 0,\ x_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so geht der Anstieg von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ) gegen unendlich.

Deshalb gibt es hier glaube ich Schwierigkeiten mit der gleichgradigen Stetigkeit.

Oder sehe ich da was falsch?

29.12.2009, 22:45

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ja, da hast du recht. Bringt mich eben auch ein wenig zum Grübeln. Ich dachte nur eben wie gesagt, dass für jedes feste x der Anstieg endlich sein muss. Die Ableitung wäre ja

$\begin{eqnarray*} -\frac{\sin(nx)}{n x^2} + \frac{\cos(nx)}{x} \end{eqnarray*}$

... und das ist ja kleiner als unendlich für alle feste x (für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(nx)}{x}-\frac{\sin(nx)}{n x^2} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{nx^2} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Oder? verwirrt

verwirrt

29.12.2009, 23:50

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

naja man darf x halt nicht gegen 0 gehen lassen, aber das tut man hier ja auch nicht.

Du hast glaube ich recht, denn für ein festes x ist damit der Anstieg endlich.
Der Anstieg wird zwar beliebig groß für bestimmte x und bestimmte n, aber sobald man ein x fest lässt, ist der Anstieg in diesem Punkt begrenzt.

Wenn endlicher Anstieg für alle Funktionen in einem beliebigen aber festen Punkt nun auch gleichgradige Stetigkeit impliziert, dann ist das hier der Fall.

Anzeige

29.12.2009, 23:55

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Implikation ist richtig => Mittelwertsatz der Differentialrechnung (oder wie der heissen mag)

30.12.2009, 00:57

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Du suchst eine Funktionenfolge.
Eigentlich genügt eine Teilmenge der Menge der stetigen Funktionen.
Diese dürfte (gemäss Definition der Gleichgradigkeit) auch bloss zwei
oder sogar nur ein Element haben.
(Ich gebe zu, dass der letzte Fall ein gar schlechter Scherz wäre, mathematisch
aber völlig in Ordnung: gleichgradige Stetigkeit und gewöhnliche Stetigkeit fallen
nämlich zusammen, wenn die betrachtete Funktionen-Menge nur ein Element hat.)

Dann schlage ich vor (weil ich davon ausgehe, dass die Funktionen auf ganz R definiert sein sollten):

f1(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{| x | }}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$ und f2(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{| x | }}{x^{2}+1} +1 \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 12:26

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, so gesehen: Reicht es denn dann tatsächlich nicht einfach eine einzige Funktion anzugeben (als einelementige Menge)? Nämlich eine beschränkte Funktion, die nicht gleichmäßig stetig ist?
Weil ja für eine einelementige Menge gleichgradige Stetigkeit = gewöhnliche Stetigkeit und gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit = gleichmäßige Stetigkeit.

30.12.2009, 15:50

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

... eigentlich schon, wie ich oben schon ausführte.
Aber dann wäre die Aufgabe etwas merkwürdig; oder nicht vollständig formuliert.

30.12.2009, 15:57

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich denke auch, dass das ausreicht.

Allerdings ist es sicher sinnvoller, eine unendliche Teilmenge zu betrachten, d.h.

$\begin{eqnarray*} M:=\left\{ f_n = \frac{\sqrt{|x|}}{x^{2}+1}+(n-1) \in C_b(\mathbb R); n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ als Menge zu betrachten.
Lässt man sich diese Funktionenschar zeichnen, sieht die gleichgradige Stetigkeit wunderbar.
Da aber schon $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{|x|}}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig ist, ist auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig gleichgradig stetig.

Wenn ich allerdings an die Fallschirm-Aufgabe denke, wäre es auch absolut in Ordnung, hier dieses schlechten, aber durchaus witzigen mathematischen Scherz als Antwort zu bringen und nur eine einelementige Menge anzugeben.

Ich bin trotzdem erstaunt, wie man auf so etwas kommt.

Also hier die nächste Frage: Wie bist du auf diese Funktionenmenge gekommen?

LG Max

30.12.2009, 21:29

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst sehen: Ich habe nichts Tiefsinniges gemacht.
Zuerst überlegte ich, ob ich eine nichtgleichmässig (aber doch) stetige Funktion kenne.
Und da das mir geläufige Reservoir an Funktionen sowieso aus differenzierbaren besteht,
fiel mir auf, dass die Steigung für nichtgleichmässige Stetigkeit nicht beschränkt sein darf, sozusagen unendlich
werden muss. Aber Achtung! Alles ohne Definitionslücke und in Beschränktheit. Da kam mir die Wurzel gerade recht.
Ihr Graph ist im Ursprung unendlich steil.
Und nun musste ich Unzulänglichkeiten ausbessern.
Erstens: Damit die Funktion auch für negative Stellen definiert ist, setzte ich den Betrag ein.
Nun war sie wenigstens auf allen reellen Zahlen definiert. Aber noch nicht beschränkt! Also:
Zweitens: Für grosse x-Beträge wächst $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x|} \end{eqnarray*}$ ins Unendliche; das muss verhindert werden.
Durch Division. Aber dieser Nenner darf nie null werden, sonst gibt es wieder Definitionslücken.
Der einfachste Nenner (den ich kenne), der nie null wird, ist $\begin{eqnarray*} x_{2}+1 \end{eqnarray*}$ . Und es klappt:
Er sorgt dafür, dass die Funktion in der Nähe von x=0 immer noch fast wie die Wurzelfunktion
aussieht, bei grossen x-Beträgen aber gibt es asymptotisches Verhalten; die Funktion ist beschränkt.
Zum Einbringen der Gleichgradigkeit (d.h. der Tatsache, dass ein delta für alle Funktionen gut sein muss)
wählte ich kongruente Graphen, d.h. ich habe die Kurven nur in Richtung der y-Achse verschoben.

Nachtrag: Ich habe über das Beispiel von saz nicht nachgedacht, weil ich voreilig (fälschlicherweise) meinte,
es habe eine Definitionslücke.

2. Nachtrag: Es fällt mir erst jetzt auf: Gleichgradige Stetigkeit bei einer Funktionenmenge F ist
bei endlichem F gar nicht sinnvoll, denn wenn alle Elemente stetig sind, ist F dann automatisch gleichgradig stetig
(man nimmt einfach jeweils das kleinste der endlich vielen deltas).
Der oben besprochene Scherz gilt also nicht nur für einelementige F, sondern sogar für alle endlichen F.
Ist F aber unendlich (etwa eine Folge), dann kann man nicht mehr ohne weiteres das kleinste delta nehmen
(weil es kein kleinstes geben muss und weil das Infimum evtl. 0 ist).

30.12.2009, 21:51

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

@saz
Deine Funktionenschar ist tatsächlich überall definiert, stetig und beschränkt.

Jede einzelne Funktion ist aber, wie ich meine, sogar gleichmässig stetig:
Jede Kurve hat eine (oder zwei) steilste Stelle; nimmt man dort das delta, dann kann es überall verwendet werden.

Die Schar dagegen scheint mir nicht gleichgradig stetig zu sein:
Bei x=0 findet man kein delta, das für wachsendes n immer gültig bleibt
(Die steilsten Kurvenpunkte rücken beliebig nahe gegen die y-Ache.)
Stimmt das? (Habe nur flüchtig überlegt.)

31.12.2009, 10:12

saz

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wisili
Die Schar dagegen scheint mir nicht gleichgradig stetig zu sein:
Bei x=0 findet man kein delta, das für wachsendes n immer gültig bleibt
(Die steilsten Kurvenpunkte rücken beliebig nahe gegen die y-Ache.)

Mh ja, stimmt, das könnte (und wird wohl) tatsächlich ein Problem sein. Über x=0 hatte ich ehrlich gesagt gar nicht weiter drüber nachgedacht. verwirrt

verwirrt

Mh, schade. Dann muss man sich wohl doch auf endliche Mengen berufen.

04.01.2010, 18:12

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, die Wurzelfunktion ist gleichmäßig stetig.

Das hätte ich ja auch mal früher noch kontrollieren können.

Folglich ist unsere Menge doch auch gleichmäßig gleichgradig stetig, oder??

06.01.2010, 16:41

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich mir eine Falle gestellt. Wie mir nun auch einleuchtet, hast du recht.
Ich baute alles auf dem Fehlurteil, die Wuzelfunktion sei nicht gleichmässig-stetig auf.
Ich hoffe, mit einem weiteren Beitrag erfolgreicher zu sein.

Gehe ich richtig in der Annahme, dass die einzelnen Funktionen durchaus gleichmässig-stetig sein dürfen (sonst gebe ich auf ...),
man sucht aber eine Menge (Folge) von Funktionen, die gleichgradig-stetig, aber NICHT gleichgradig-gleichmässig-stetig wäre. Und überall definiert und beschränkt sollen die Funktionen noch sein.
Ich studiere diesbezüglich mal die Funktionenfolge f1, f2 , f3, ... mit folgender Definition:

fn(x) = 0 für x<n
fn(x) = 1 für x>n+1/n
fn(x) = n x - n^2 sonst

fn ist stückweise linear, mit 2 Knicken. (Differenzierbarkeit hat man nicht, wäre aber leicht erreichbar.)
Das klappt doch, oder?

15.01.2010, 18:38

Max Simon

Auf diesen Beitrag antworten »

Heute haben wir dann ne Lösung bekommen.

Unser Irrtum lag darin, den unendlich großen Anstieg an einer Stelle $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, hier immer die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Dadurch haben wir aber immer wieder Polstellen erzeugt, sodass die Funktionen nicht mehr auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert waren.

Man muss nur den unendlich großen Anstieg nach unendlich legen^^. Sagt sich einfach, ist aber ein Problem, weil die Funktionen ja beschränkt sein sollen.
Also sind wir wieder bei Winkelfunktionen.

Also eine Funktion, die auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert, beschränkt, stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist, ist

$\begin{eqnarray*} cos(x^{2}) \end{eqnarray*}$ .

Also ist eine entsprechende Funktionenmenge, die gleichgradig stetig, aber nicht gleichmäßig gleichgradig stetig ist,

$\begin{eqnarray*} M:=\left\{f_n\in C_b(\mathbb R);\ f_n(x)=cos(x^{2})+(n-1), n\in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ .

Lustig ist, dass ich auf die Wurzelvariante trotzdem alle Punkte bekommen hab. Der Kontrolleur war wohl genauso gutgläubig wie ich erst^^.

Also nochmal danke allen Helfern!

LG Max.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »